绳牵引并联机构中绳索张力解的实时性研究

摘 要：针对冗余约束绳牵引并联机构绳索张力多解的问题，考虑绳索张力的上下限，基于牛顿欧拉方程和凸优化理论建立绳索张力优化分配的模型，利用非迭代的算法确定绳索张力解。并给出数值仿真案例，对比本文算法和传统优化算法的实时性。为绳牵引并联机构的实时力控制奠定基础。

关键词：绳牵引并联机构；冗余约束；力分配；实时性

DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2019.09.004

0 引言

绳牵引并联机构CDPR（Cable-Driven Parallel Robot），其绳索数量为c，动平台的自由度数目为d。鉴于当c>d+1时，机构动平台工作空间范围较大以及对于避免奇异位姿点出现的巨大作用[1]，本文的CDPR类型为冗余约束机构（c>d+1），其动力学逆解为多解。为保证在控制周期内实时计算出张力解，必须研究冗余约束CDPR绳索张力解的实时性。

郑亚青[2]以及Hassan[3]将绳张力优化转化为凸优化问题。Borgstrom[4]通过引入松弛变量的方法采用线性规划方法来计算绳索张力。Kraus[5]利用二次规划分配绳索张力解。Mikelsons[6]提出了一种非迭代的绳索张力求解算法，通过求解优化变量所在凸多面体的中心来求解张力。苏宇[7]针对完全约束机构（c=d+1），基于单变量的多项式极值求解方法提出了一种非迭代算法来计算绳索张力，但未考虑冗余约束CDPR。

因此本文将对冗余约束CDPR机构绳索张力解的实时性进行分析研究，其中c=8，d=6。

1 绳索张力优化分配模型

冗余CDPR的示意图如图1，假设绳索质量非常小，故其重力暂且忽略不计，绳索的数学模型为直线模型，冗余CDPR的动力学模型可写作如下矩阵形式[8]：

当目标函数分别为绳索拉力向量的1范数和2范数时，（3）的优化模型可以变为线性规划和二次规划问题；绳索拉力向量的p范数为凸函数，约束为凸集，故可以采用凸优化模型求解。线性规划、二次规划和凸优化均需要不断迭代寻优，这些迭代算法的实时性较差。

当目标函数为绳索拉力向量的1范数时，最优解落在中的某个顶点，所以当确定的所有顶点后，再遍历比较所有顶点的目标函数值的优劣即可确定最优解，相对于迭代算法，无需迭代，提高张力解算的实时性。

2 凸多边形快速确定方法

（圖2中的红色区域）中顶点的完全确定只需要求到所有顶点坐标即可。传统遍历算法先确定式（3）所对应的2c条约束直线的所有的交点，再从交点中搜寻顶点；两个步骤需要求解112（4）个交点，并对每个交点进行逐一判断。快速求解所有顶点的思路源自Marc的研究[9]，具体算法做一些变动，算法流程如下：

Step1：先对2c条约束直线进行1到16的编号，再随机选择能产生交点的约束直线m，n，记其交点为V0；

Step2：然后在直线n上寻找满足直线m约束的下一个距离V0最短的交点V1（直线n，的交点），图示中=f，储存得到的直线序号组m n ；

Step3：判断n、是否与之前的某一组直线序号中的m、n分别相同，是的话输出所有可行的顶点，结束程序。否的话，m=n，n=qi回到第二步。

表1为确定所有顶点时，两种不同方法的时效性数据，数据来源于下文第4节的数值仿真。采用快速算法可以减少55.65%的计算时间，这将大幅度提高最终绳索张力优化解的实时性。

3 实时性评价指标

假设为规划轨迹上张力求解的最大计算时间；为所有离散位姿点绳索张力的平均计算时间。如果小于控制周期，即可认为张力分配方案满足实时性要求；且相同的情况下，的数值越小，实时性能越好。

4 案例数值仿真

机构布置如图3，最外层长方体代表机架，长宽高均为4m，静坐标系位于其下底面；中间小长方体表示动平台，长宽高分别为1.2m，0.8m，0.4m，动坐标系原点位于其几何中心；蓝色直线表示8根牵引绳索。每根绳索的张力上下限分别为2000N 10N。

在MATLAB软件中仿真。姿态角始终为，规划的位置轨迹如图4，其表达式见式（4），参数分别为0.8m，2rad/s，0.1m/s；动平台质量m为20kg，时间t从0到10s，步长为0.001s。

基于绳索张力1范数最小为目标函数优化张力解，张力解曲线见图5，总有两根绳索的张力位于张力下极限处。为了使绳索张力解远离张力下极限，以的重心作为优化点，张力解曲线见图6。

采用线性规划以及凸规划2类迭代方式的时效性见表2。本文非迭代方法的时效见表3。

表2表3说明了本文非迭代算法在实时性方面的巨大优势，比直接用MATLAB内部函数lingprog进行线性规划快了4倍左右。

轨迹上重心分配张力解的时效性曲线见图7，=0.95ms。

5 总结

在MATLAB软件下，针对冗余CDPR绳索张力分配模型，文章所采用的非迭代算法相对线性规划、凸优化等迭代算法，在张力解算时效性上至少缩小为原来的1/4，其关键步骤在于快速确定二维优化变量凸集的所有顶点。

参考文献：

[1]Verhoeven R.Analysis of the workspace of tendon-based Stewart platforms[D].Duisburg： Ph D.Dissertation of University of Duisburg-Essen，2004.

[2]郑亚青.绳牵引并联机构若干关键理论问题及其在风洞支撑系统中的应用研究[D].泉州：华侨大学博士学位论文，2004.

[3]Hassan M， Khajepour A.Optimization of Actuator Forces in Cable-Based Parallel Manipulators Using Convex Analysis[J]. IEEE Transactions on Robotics，2008，24（03）：736-740.

[4]Borgstrom P H，Jordan B L，Sukhatme G S，et al.Rapid computation of optimally safe tension distributions for parallel cable-driven robots[J].IEEE Transactions on Robotics，2009，25（06）：1271-1281.

[5]Kraus W，Spiller A，Pott A.Energy efficiency of cable-driven parallel robots[C].IEEE International Conference on Robotics and Automation.IEEE，2016.

[6]Mikelsons L，Bruckmann T，Hiller M，et al.A real-time capable force calculation algorithm for redundant tendon-based parallel manipulators[C].IEEE International Conference on Robotics and Automation.IEEE，2008：3869-3874.

[7]苏宇.绳牵引并联机器人的力学分析与性能优化[D].西安电子科技大学，2014.

[8]刘欣，仇原鹰，盛英.绳牵引并联机器人的静刚度解析[J].机械工程学报，2011，47（13）：35-43.

[9]Gouttefarde M，Lamaury J，Reichert C，et al.A Versatile Tension Distribution Algorithm for n -DOF Parallel Robots Driven by n+2 Cables[J].IEEE Transactions on Robotics，2015， 31（06）：1444-1457.

作者简介：李家旺（1992-），男，湖北孝感人，硕士研究生，主要研究方向：绳牵引并联机构。