“圆”来如此简单

张勇

中图分类号：G633.6 文献标识码：B 文章编号：1672-1578（2019）10-0136-01

在一些数学题中，看似与圆毫无关系，但是用常规的解题方法却无法解决问题，而通过题中的某些条件构造辅助圆，运用圆的知识进行解答，往往就会使题目简单化，从而使难题迎刃而解.本文结合一些实例，探析如何巧用辅助圆妙解几何题.

1.“圆”来这样求线段长度

求线段的长度是初中数学比较常见的问题.该问题的常规解法是通过做垂线构建直角三角形从而运用勾股定理或是巧用面积公式.但是在一些问题中，通过直接作出垂线，往往会使图形更加复杂，从而不能成功解题.

例1：如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，已知BC=CD=AC=23，AB=6.则BD=.

解析：通过题干中的条件BC=CD=AC，我们可以想到以C为圆心，BC为半径作圆.根据圆的性质：直径对应的圆周角为直角，可以延长BC交于⊙C于点E，连接DE，如图所示，此时△BDE为直角三角形.Q AD∥BC，∴AB=DE=6，由勾股定理得BD=42.

点拨：根据题干中的线段相等，从而构建辅助圆，接着利用圆的性质进行解题.其中需要注意的是，虽然辅助圆能做出，但是要想解题，就要对圆的性质有一个深刻的理解。

2.“圆”来 这样求角度

求角的度数问题一般都是以三角形为载体，该问题的常规解法是利用三角函数的知识去解答，但是由于初中数学只学习了一些特殊的三角函數值且以直角三角形为载体.当遇到一般的三角形，此时学生往往会无计可施。

例2：如图所示，在△ABC中，其中AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD+AD=BC，则∠A=.

解析：由题意得，本题要求的是∠A，由于此题没有告知任意一个角的大小，且△ABC也不是直角三角形，因此运用三角函数的知识是很难解答该题的.由题干中BD平分∠ABC，可得∠ABD=∠DBC.作△ABD的外接圆交BC于点E，如图所示.根据圆的性质可得，AD=DE.因为四边形ABED为圆内接四边形，所以∠ABC=∠EDC=∠C，所以2∠C=∠DEB，DE=EC.因为BD+AD=BC=BE+EC且AD=DE=EC，所以BE=BD.因为∠DEB=∠BDE=2∠C，在△BDE中，∠DEB+∠BDE+∠DBE=180°，即4∠C+12∠C=180°，得∠C=40°.在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，得∠A=100°.

点拨：此题是根据角平分线从而想到画出三角形的外接圆，然后找出各角之间的关系进行解答的.因此，在求解角的度数时，要充分运用辅助圆，找出相等的角，最后通过运用三角形内角和为180°列出式子求解.此类题型的难点在于，如何画出辅助圆.

3.“圆”来 这样解决最值问题

求最值的问题在中考中是常见问题，其一般的思路就是设未知数，然后寻找关系列出函数表达式，即可解答出.虽然解题思路清晰，但是此类题型的难点就是在如何将条件整合起来，找出其之间的关系，

例3：如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=23，动点P、Q分别在AB、AC上，∠CPQ=90°，则CQ的最小值为.

解析：经过审题后，感觉CQ就是独立的，无法向已知条件上靠，唯一可以用的就是∠CPQ=90°，但是无法运用勾股定理，因为三条边都是未知的.但是通过仔细审题，从条件∠CPQ=90°出发，可以想到圆的直径所对的圆周角是直角，此时可以试一下，看画出辅助圆对解题有无帮助.通过图可以看出，要想CQ最小，AB与⊙O要相切.此时就可以根据OP⊥AB，OP=OC，可得∠APQ=30°，此时设PQ=OQ=OP=OC=r，3r=AC=cos30°.AB=3，解得，所以CQ的最小值为2.

点拨：根据题干中条件画出辅助圆，借助圆的性质：圆心到切点之间的线段最短是解答本题关键，可见辅助圆对题目的综合分析起了很大的作用.其中需要特别注意的是，当题中给出直角时不能单单只想到勾股定理，也要联想到圆。

综上所述，在解答几何问题时，如若发现运用常规方法不能解决问题或是解决过程比较繁琐，此时可以通过仔细审题，挖掘题干中与圆有联系的条件，从而做出辅助圆进行分析解题.由于做出辅助圆的关键就是善于捕捉题干的细节之处，这对学生的要求比较高，因此学生要在以后的学习中勤总结。