论第一个重要极限的地位

摘 要： 第一个重要极限（以下简称重要极限I）在极限运算中有着承前启后的作用。文章通过分析此极限的特点，指出了它的某些应用以及与等价无穷小的关系。

关键词：重要极限;商式极限;无穷小

中图分类号：O171-4;G712

文章编号：2095-624X（2019）04-0025-01

一、重要极限I

极限运算的学习是从四则运算法则开始的，也就是函数的和、差、积、商的运算法则。在各函数的极限都存在的前提下，只要商的极限运算中分母函数的极限不等于0，函数的和、差、积、商的极限等于极限的和、差、积、商。简单来说，在自变量x→x0时，这些情况下通过直接代入x0值求得极限。但是，基本上都是要我们求函数商的极限且在此商中分母的极限等于0。在循序渐进的学习中，我们一般是从分子和分母都是多项式或者带根号的式子这种简单的商式开始，通过因式分解、分母有理化等方法化简商式，使得分子和分母在化简之后极限不再为0，从而求得极限。但是这些方法是有局限性的，它们只能在由幂函数与常数构造的初等函数中使用，如果是非幂函数类的初等函数，那么因式分解、分母有理化等方法就不适用了。

这里的重要极限I正是一个突破口。它把商式的极限运算从幂函数类的初等函数突破到了非幂函数类，从而得出了更一般的无穷小与无穷小之比的极限方法，并由此过渡到无穷小的等价替换定理。

二、重要极限I的应用

如何应用此极限求解极限问题，一般题目不会直接给出 ，通常都需要变换。此极限的特点是分母的变量要和sin后面的变量相同，而且都趋于0。如果分母的变量和sin后面的变量不相同，就一定要想办法把他们变成相同，这样才能运用此极限去解决。运用此极限，能解决很多三角函数与幂函数比值的极限问题，只要题目中出现了三角函数和幂函数，就可以利用此极限进行变换。

例1的分子是一個三角函数的复合函数，如果想要利用重要极限I，就必须把分母变成和分子第一个sin后面的一样，即变成sinx，所以此题的思路就是分子分母同乘以sinx，再变成两个极限相乘，这两个极限都运用第一个重要极限来计算，即可得出结果。

三、重要极限I与等价无穷小

重要极限I的形式，实质上就是无穷小与无穷小之比的问题。在等价无穷小的定义中，当两个无穷小之比的极限等于1时，它们就互为等价无穷小，而等价无穷小在乘积和相除的运算中是可以相互替换的。这就给极限运算带来了极大的方便，而这个方法的基础就是重要极限I。在《实用高等数学》中给出了当x→0时arcsinx，arctanx都与x互为等价无穷小，但并没有给出证明，下面通过一个例题来说明。

这样就得到了arctanx与x互为等价无穷小了。此题采用了换元法，当x→0时，arctanx也是趋于0，通过换元，就把反三角函数与幂函数之比的极限问题变成了三角函数与幂函数之比的极限问题，这样就可以使用重要极限I。另外，此题也运用了此极限的一个变形式：

总之，重要极限I在极限运算的教学中是必不可少的一环，没有掌握这个极限运算，就很难把极限的商式运算从幂函数过渡到其他各类函数之中，也会让整个高等数学的学习在逻辑上不太完整。

参考文献：

[1]吴赣昌.实用高等数学[M].北京：中国人民大学出版社，2017.

[2]杨雄.第一个重要极限的教学[J].阴山学刊（自然科学版），2017（2）.

作者简介：王志平（1981—），男，湖北武穴人，专任教师，研究方向：高等数学。