基于细胞自动机的碳酸盐岩沉积模拟

赵华伟 段太忠 刘彦锋 廉培庆 张文彪 赵磊

(中国石化石油勘探开发研究院， 北京 100083)

在油气藏地质建模过程中，基于变差函数的两点地质统计学建模方法是一种主流地质建模方法[1]。近年来，基于训练图像的多点地质统计学建模方法也逐渐得到发展应用[2-3]。这类基于统计学的建模方法最明显的缺陷是，对井点数据的依赖性极强，在数据较少时难以获得满意的结果。基于沉积过程的建模方法(沉积模拟方法)，是通过模拟真实的沉积历史来建立地质模型，其结果更加符合地质规律，有望发展成为新的主流地质建模方法[4-5]。沉积模拟方法可模拟碎屑岩、碳酸盐岩及其混合物的沉积过程。其基本模拟方法包括基于扩散方程及水动力学方程的确定性模拟方法，以及基于两点随机游走或细胞自动机(Cellular Automaton，CA)的随机模拟方法。

细胞自动机是一种离散迭代演化模型。它是由无限或有限个相同的网格组成，每个网格处于一种有限状态。网格在t时刻的状态，由t-1时的有限集合的状态来确定。在每次演化过程中，所有网格遵守同一规则，同时演进[6-7]。基于细胞自动机的建模方法应用较为广泛[8]，近年来开始应用于浊积岩、碳酸盐岩等储层模拟[9-12]。下面将详细描述该方法的碳酸盐岩沉积模拟过程，分析其优缺点，探讨其发展趋势和应用前景。

1 细胞自动机基本原理

一个细胞自动机系统(A)通常包含4个元素，分别是细胞空间(Ld)、细胞状态集合(S)、包括中心细胞在内的邻域内细胞组合(N)，以及对应的演化规则R。其关系如式(1)所示：

A=(Ld，S，N，R)

(1)

细胞在空间上的网格点集合就是细胞空间。目前的细胞自动机研究，主要方向侧重于一维细胞机和二维细胞机研究。一维细胞自动机的细胞空间只有一种，而二维细胞自动机的细胞空间通常可按三角形、正方形或六边形这3种网格进行排列。其中，二维细胞自动机的细胞空间中，正方形网格的应用最为广泛，其边界条件分为周期型、反射型、定值型等不同类型。

细胞的状态可以是二进制形式(通常用0或1表示)，也可以是整数形式的离散集。理论上，细胞自动机的细胞只能有1个状态变量，但实际应用中其状态变量往往有多个。

在细胞自动机中，演化规则是定义在局部作用范围之内的，即一个细胞在下一个时刻的状态取决于其本身及其邻域细胞的状态。在一维细胞自动机中，通常以半径r来确定邻域，距离某个细胞半径内的所有细胞，均被认为是该细胞的邻域。二维细胞自动机的邻域相对比较复杂，通常包括冯·诺依曼型、摩尔型、扩展的摩尔型。如图1所示，3种类型二维细胞机中心细胞(网络)周围的阴影区域，即中心细胞的领域。

根据细胞当前状态及其邻域状态确定下一时刻该细胞状态的动力学函数，此过程称为演化规则，此函数即状态转移函数。状态转移函数可表示为：

(2)

式中：R—— 状态转移函数，即演化规则；

演化规则是事先给出用于约束细胞自动机状态的条件集合。在实际应用中，细胞自动机模型设计是否成功，关键在于其演化规则是否合理，能否客观反映系统的本质特征。演化规则的设计是细胞自动机模拟的核心环节。

图1 二维细胞自动机邻域类型

2 基于细胞自动机的碳酸盐岩沉积模拟

当前，细胞自动机算法主要应用在两类储层的沉积模拟中，分别是碳酸盐岩和浊积岩储层。其中，以Burgess、Teles等人的研究工作最为典型[11-12]。在此，以Burgess的研究工作为背景，介绍碳酸盐岩的沉积模拟过程。

2.1 模拟过程

2.1.1 岩相平面演化

碳酸盐岩的岩相平面演化遵循了细胞自动机的基本规则，即某网格当前时间步的岩相由上一时间步该网格及其邻域范围内网格的岩相状态所决定。岩相平面演化的邻域范围采用了扩展的摩尔型邻域，如图2所示。岩相平面演化规则中，按照邻域中与该岩相类型相同的邻居数量n，分为式(3)、式(4)、式(5)所示不同条件：

4≤n≤10

(3)

n≤3或n≥11

(4)

6≤n≤10

(5)

当某网格的状态为非孔洞，且该网格及其邻域内网格中某岩相的数量满足式(3)时，该网格的岩相类型保持不变。此条件的含义是，周围的邻居数量适宜该岩相继续生存。

当某网格的状态为非孔洞，且该网格及其邻域内某岩相的数量满足式(4)时，该岩相变为孔洞。此条件的含义是，周围的同类岩相数量过少，或竞争过于激烈，使得该岩相无法继续存在。

图2 岩相平面演化扩展摩尔型邻域

当某网格的状态为孔洞时，该网格及其邻域内某岩相的数量满足式(5)时，该孔洞变为岩相。此条件的含义是，周围的环境适宜新岩相生成。

需要说明的是，孔洞具体变为何种岩相是与时间变化相关的。改变每次检索的顺序，可以使各相的转化概率相等。在图3所示随机初始状态下的岩相平面演化过程中，可以看出，随着演化时间的延长，同种岩相逐渐聚集，整个模拟区域的熵降低，系统逐渐进入有序状态。

2.1.2 岩相垂向生长

将3类不同岩相的垂向生长速率与水深关系进行了对比，其关系曲线如图4所示。其中，岩相1的微生物为浅水喜光微生物，在深水中生长速率很低，但是在浅水中生长速率极高；与岩相1的微生物相比，岩相2的微生物能够在深水中生长，但是在浅水中的最大生长速率较低；岩相3的微生物生长速率不受水深的影响，保持匀速的状态。

图3 岩相平面演化结果

图4 3类岩相垂向生长速率与水深关系曲线

Bosscher、Schlager在研究中给出了描述碳酸盐岩生长速率的函数，认为碳酸盐岩垂向生长速率与水深存在双曲正切关系[13]：

(6)

式中：g(w)—— 垂向生长速率；

gm—— 最大生长速率；

I0—— 表层光照强度；

Ic—— 饱和光照强度；

k—— 速率常数；

w——水深。

根据式(6)，可以进一步描述碳酸盐岩的累积速率：

υ(w)=υmtanh(kexp(dw(t)))

(7)

其中：υ(w)—— 累积速率；

υm—— 最大累积速率；

d—— 衰减常数。

如果进一步考虑周围岩相的影响，则某网格中岩相的真实垂向生长速率a可以用式(8)所示方程组表示：

(8)

式中：nmin—— 该岩相在下一时间步保持状态不变的最小网格数量；

nmax—— 该岩相在下一时间步保持状态不变的最大网格数量；

noptimum—— 保证最大生长速率的网格数量。

根据式(8)可知，随着邻域内同岩相网格的数量逐渐增加，该网格中岩相的垂向生长速率也不断增大。当达到最大生长速率后，随着同岩相网格数量进一步增加，该网格中岩相的垂向生长速率又逐渐降低。岩相的垂向变化，同时受纵向水深和平面状态变化的影响。

2.1.3 沉积物搬运及相对海平面变化

尽管大部分碳酸盐岩台地是由生物生长而形成，但沉积物搬运作用对于碳酸盐岩台地生长的影响不能忽略。沉积物搬运过程可以用“梯度算法”简化表示。如果某网格的海拔高度高于周围的网格，且其周围存在孔洞网格，则该网格产生的沉积物一部分留在该网格，剩余部分均匀地分配给周围海拔高度较低的孔洞网格；反之，其产生的沉积物留在原地。在此，以图5所示沉积物运移过程为例进行分析。当沉积物不发生运移时，中心网格厚度为0.5 m，周围4个网格的海拔均高于该网格；当沉积物发生运移时，周围4个网格的海拔较低，则沉积物均匀地分配给周围的4个网格，按照上述规则进一步搬运，直至厚度小于0.5 cm。

图5 沉积物运移过程示意图

在模拟过程中，假设整个模拟区域以恒定不变的速率发生沉降，海平面的周期性变化采用正弦曲线表示。当相对海平面发生变化，导致某一网格出露水面时，岩相生长即中止；当某网格再次沉入水下时，岩相生长则恢复。值得注意的是，相对海平面的变化可能导致邻域内同岩相的网格数量发生变化，进而影响岩相的平面演化和垂向生长。这一点与真实的碳酸盐岩台地生长过程相类似。

2.2 模拟结果

模拟区域的平面大小为50×50网格，单个网格的长度为1 km。网格有4种状态，即岩相1、岩相2、岩相3和孔洞。在初始时刻，整个模拟区域的岩相为随机分布。单个时间步长为1 000 a，模拟1 000个时间步，总时间步长为1 Ma。分别针对3种情形下的沉积过程进行模拟：(1) 海平面不变，无沉积物运移；(2) 海平面变化，无沉积物运移；(3) 海平面不变，有沉积物运移。沉积模拟结果如图6所示。

在第1种情形下，不同岩相的平面演化和垂向生长形成了复杂的岩相结构。此时，虽然模拟结束时每个网格的台地高度基本相同，但整个过程中仍存在高度不同的情况。

在第2种情形下，海平面发生周期性变化，碳酸盐岩台地在相当长的时间内出露水面，导致很长时间的空白沉积期。与此同时，周期性的海平面升降也影响着岩相的平面演化，使得孔洞大量出现。2种机制共同作用的结果是，当模拟结束时，碳酸盐岩台地的高度出现显著差别。

在第3种情形下，沉积物搬运作用以岩相4和岩相5来表示。由其剖面图和柱状图可知，搬运的沉积物具有一定厚度，不过其厚度明显小于原地生长的岩相。与第1种情形相类似，模拟结束时碳酸盐岩台地的高度基本一致。

3 细胞自动机方法的优缺点及应用前景

3.1 优缺点

与基于定量方程的确定性沉积模拟方法相比，该方法的优点是所采用的规则十分简单，能够保证极高的计算效率。与此同时，通过多次迭代演化，得到复杂结果，在一定程度上能够重现复杂的地质过程。

该方法较明显的缺点是，初始时刻的岩相分布对最终结果影响显著。如图7所示，在初始时刻，2种情形下整个模拟区域仅有1个网格的岩相不同。模拟持续一段时间后，2种情形下平面模拟结果开始显现出不同。当模拟结束时，2种情形下的平面模拟结果出现了显著差别，同时垂向的岩相分布也有着明显的不同。因此，选择合适的初始岩相分布有助于获得有价值的模拟结果。

平面的演化规则决定了岩相的平面变化。在此，针对保持岩相不变需要的邻域中相同岩相的最小数量和最大数量作了定义，如式(3)所示。同时，针对保持岩相最大生长速率的同岩相数量作了定义，如式(8)所示。这些定义均具有很强的主观性，所定义数量是否符合真实的碳酸盐岩台地生长过程，还有待进一步研究。除此之外，对于沉积物的搬运及相对海平面变化都作了简化处理，其过程有待深入讨论。

3.2 应用前景

就结果的可靠性来说，目前基于细胞自动机的沉积模拟远不如基于定量方程的确定性沉积模拟。但是，如果能够避免上述缺点，该方法就具有良好的应用前景。具体思路是：(1) 用沉积初始时刻的岩相古地理作为模拟的初始条件；(2) 设计合适的具有地质意义的平面演化规则；(3) 进一步优化沉积物搬运的算法。

图6 3种情形下的沉积模拟结果

图7 岩相分布模拟对比

运用基于定量方程的沉积模拟方法时，需要设置大量的参数，以精细刻画各种沉积物搬运和沉积过程，如沉积物沉降/抬升、沉积物供给变化。大量的参数难以全部准确获取，因此基于定量方程的沉积模拟方法存在一定的不确定性。此时，基于细胞自动机的沉积模拟方法可以有效模拟不确定性沉积过程。我们可以运用确定性沉积模拟方法来模拟沉积亚相和较明确微相的变化，而对于部分不明确的沉积微相，则采用基于细胞自动机的沉积模拟方法来进行刻画。对于溶蚀、压溶等控制方程不明确的后期成岩过程，也可以运用基于细胞自动机的沉积模拟方法来进行模拟。将确定性模拟方法和细胞自动机模拟方法结合起来，有望获得比较满意的结果。

4 结 语

基于细胞自动机的沉积模拟方法是一种随机模拟方法，可由邻域范围内的网格状态决定网格的演化方向。与确定性沉积模拟方法相比，该方法的最大优点是，能够通过简单的演化规律模拟复杂的沉积过程。基于细胞自动机的沉积模拟方法可同时开展平面演化和垂向生长，并将沉积物搬运作用和相对海平面变化的影响也考虑了进去。该方法涵盖了碳酸盐岩沉积的所有因素，基本上能够反映碳酸盐岩的沉积过程。该方法的主要优点是，规则简单，计算效率高；主要缺点是，初始状态对结果的影响显著，且演化规则的地质意义不明确，仍有待进一步研究。该方法可以作为确定性沉积模拟的一种有效补充。