带变号势和对数非线性项Kirchhoff问题解的存在性

赵 莉， 黄永艳

(山西大学 数学科学学院， 山西 太原 030006)

0 引言

本文主要研究下面Kirchhoff问题解的存在性

(1)

其中Ω⊂R3是一个有界光滑区域，a,b>0,p∈(4,6).问题(1)和拟线性双曲方程

(2)

在最近几年里，Kirchhoff问题已经受到了许多学者的广泛研究，研究者们建立了正解[6]，多重解[7]，变号解[3]和基态解[8]的存在性结果.与此同时，对数非线性项tln|t|也经常出现在描述数学和物理现象的偏微分方程中[9-12].

然而，一方面，本课题组发现大多数Kirchhoff问题的非线性项只含有幂函数项K|t|p-2t[8,13]，而不含有对数项tln|t|，这就引起了对含有对数非线性项Kirchhoff问题的研究兴趣.另一方面，本课题组注意到limt→0[tln|t|+|t|p-2t]/t=-∞,这与通常的条件limt→0f(t)/t=0[14,15]显然不同，也就是说，一般情形下，tln|t|+|t|p-2t不可能是f的特例，这就使得本文的研究具有一定的现实意义和理论价值.

因此，鉴于以上两方面的理论依据，本课题组自然而然地会思考tln|t|是如何影响Kirchhoff问题解的存在性.目前，有关这一问题的研究甚少.

受上述工作的启发，本文研究问题(1)非平凡解的存在性结果.注意到对数非线性项不满足单调性条件和AR条件，所以，这就使问题(1)变得比不含有对数非线性项的情形更复杂，更具挑战性.另外，不同于文献[8,13,15]，本文的势函数V是可变号的，且V满足(V)V∈L3/2(Ω),infx∈ΩV(x)≥-1/4.

基于这些事实，本文应用对数型Sobolev不等式和山路定理来获得问题(1)解的存在性结果.在下文第一章节中引入一些基本的记号和要用到的结果；在第二章节证明主要结论.

1 准备工作

在整篇论文中使用一些常用的记号.Lp(Ω)是通常的Lebesgue空间，其范数为

H1(Ω)={u:u∈L2(Ω),u∈L2(Ω)},

为了处理对数非线性项tln|t|，本文需要下面的对数型Sobolev不等式[16].

引理1对所有的u∈H1(RN){0},α>0,有

(3)

为了证明主要结论，本文引用下面的山路定理[17].

引理2设E是一个实的Banach空间，I∈C1(E,R)满足PS条件且I(0)=0.若I满足山路结构，即

(i)存在r,β>0,使得当‖u‖=r时，有I(u)≥β;

(ii)存在v∈E且‖v‖>r,使得I(v)<0.

定义

Γ={γ∈C([0,1],E)∶γ(0)=0,γ(1)=v},

那么，c:=infγ∈Γmaxt∈[0,1]I(γ(t))是I的一个临界值.

2 主要结论证明

为了运用上面的山路定理，下面主要来证明泛函I满足山路型结构和PS条件.

引理3存在r,β>0,使得当‖u‖=r时，有I(u)≥β.

(4)

因此，从(4)式和Sobolev嵌入定理，有

因为p∈(4,6)所以就得到I(tu)→-∞,t→∞.于是，存在足够大的t0,使得‖t0u‖>r且I(t0u)<0.因此，v=t0u就满足引理的要求.

引理5I满足PS条件.

C+on(1)‖un‖≥

C1‖un‖3,

on(1)=

〈I′(un)-〈I′(u),un-u〉=

[‖u‖4-‖un‖2(un,u)-‖u‖2(un,u)+

(5)

(6)

|unln|un|-uln|u||2|u-un|2→0.

(7)

同样，再利用Hölder不等式，有

||un|p-2un-|u|p-2u|p/(p-1)|u-un|p→0.(8)

于是，根据式(5)～(8)，得到

on(1)=a‖un-u‖2+b[‖un‖4-

‖un‖2(un,u)-‖u‖2(un,u)+‖u‖4].

而注意到

‖un‖4-‖un‖2(un,u)-‖u‖2(un,u)+

‖u‖4≥‖un‖4-‖un‖3‖u‖-

‖u‖3‖un‖+‖u‖4=[‖un‖3-

‖u‖3][‖un‖-‖u‖]≥0.

因此，‖un-u‖2→0.

下面来叙述和证明本文的主要结论.

定理1若(V)成立，则问题(1)存在非平凡解.

3 结论

通过上述深入研究可知，当变号势有一定的负下界时，可利用山路定理得到kirchhoff问题的非平凡解.本文在方法上具有一定的创新性，解决了理论和技术方面的一般性问题，将对今后的进一步研究起到指导性作用.