基于犹豫模糊语言熵的纯语言多属性决策方法

张金波

(皖西学院 金融与数学学院，安徽 六安 237012)

熵作为一个重要的信息刻画方式，在模糊理论中占有重要地位，长期以来很多学者致力于研究它们在多属性决策[1-3]、模式识别等领域中的应用[4-5]。DeLuca和Termini定义了熵理论的公理化体系，并指出Shannon概率熵可用于度量事件的信息量[6]。Zadeh在Shannon函数的基础上提出几个熵的计算公式，并给出模糊熵的公理化定义[7](P101-103)。Kaufmann在模糊集隶属函数距离的基础上，定义了一种模糊集熵的计算方式[8](P50-59)。Yager基于模糊集的差异性和相似性，定义了一种模糊熵的计算方式[9]。Szmidt和Kacprzyk将De Luca和Termini提出的公理化体系推广到直觉模糊集中，并给出具体的计算方式[10]。Zeng和Li给出区间模糊集熵的计算公式[11]。利用直觉模糊距离及其相似性，Farhadinia对区间值模糊集熵理论进行拓展[12]。

在现实生活中，很多信息难以用定量的方式进行刻画，或者获取的成本太高，使得人们更愿意用语言对决策属性进行评估。这符合人类思维的模糊性，例如人们常用慢、一般和快速来描述一个人的跑步速度，而不是用精确的定量描述。同时利用语言描述可使决策者更加便捷可靠的进行决策。目前语言决策技术已被广泛地应用在很多领域，如在线营销[13]、临床诊断等领域[14]。但单个语言的评价方式在高度不确定的环境中难以使用，决策者往往在几个语言术语中犹豫或需要一个复杂的语言术语来表示他们的意见。Rodriguez等人提出了犹豫模糊语言术语集(hesitant fuzzy linguistic term sets,HFLTSs)[15]，来改善传统语言的建模和计算性能，使决策者对定性判断给予更好的表述形式，这一概念引起了越来越多学者的关注。Rodriguez等人[15]给出了一些HFLTSs集结算子，并讨论了它们的性质。Liao等人给出了几种类型的HFLTS距离和相似度计算公式，并用它们进行犹豫模糊语言环境下的多属性决策[16]。Wei等人研究了HFLTS下的信息集结技术，并将其应用于属性权重已知和未知2种情况下的多属性决策问题[17]。Chen和Hong根据决策者的悲观和乐观态度提出了一种多目标语言决策的方法[18]。

笔者主要目的是将熵引入犹豫模糊语言术语集，给出其公理化定义以及具体的计算公式。另一方面，目前大多数纯犹豫模糊语言决策问题研究中假设权重已知或部分已知[19-20]，本文利用所给出的犹豫模糊语言熵，给出一种权重未知情形下的纯犹豫模糊语言多属性决策方法。

1 犹豫模糊语言

文献[21]定义了一种有限的有序语言评估标度[21](P20-39)

其中，sα表示语言术语，s0表示中性评价，其它的语言术语对称的分布在其两侧，且满足下列条件：

1)sα

2)存在负算子N(sα)=s-α，特别地，N(s0)=s0。

1)sα⊕sβ=sβ⊕sα=sα+β；

2)λsα=sλα；

3)(λ1+λ2)sα=λ1sα⊕λ2sα；

4)λ(sα+sβ)=λsα⊕λsβ。

在犹豫模糊理论的启发下，Rodriguez等人定义了犹豫模糊语言术语集。

定义2[15]称HS={|xi∈X,i=1,…,n}为论域X上的犹豫模糊语言术语集，其中S={sα|α=-t,…,-1,0,1,…,t}为语言评估标度，hS(xi)表示语言评估标度S中的某个子集，hS(xi)={sηl(xi)|sηl(xi)∈S,l=1,2,…,L}，L表示hS(xi)中元素个数。

注：为便于表述，文中将hS(xi)称为犹豫模糊语言术语，并假定所有的犹豫模糊语言术语个数相同。若出现元素个数不相等，则对元素个数少的集合进行拓展。

我们定义一种犹豫模糊语言术语和犹豫模糊语言术语集的序。

2 犹豫模糊语言熵

模糊熵描述了一个模糊集的模糊性程度，应满足下面4个条件：

1)分明集是不模糊的，则分明集的模糊熵为0；

2)[1/2]是隶属性最难确认的模糊集，[1/2]的模糊性应最大；

3)模糊集A与Ac距[1/2]的远近程度是相同的，则要求A与Ac的模糊程度一样；

4)模糊集A的模糊性应具有单调变化的性质，即A越接近[1/2]，A的模糊性越大；越远离[1/2]，A的模糊性越小。

在此基础上，我们给出犹豫模糊语言熵的定义。

(1)

为犹豫模糊语言熵。

故

即E:HS→[0,1]。下面证明其满足定义5的4条性质。

3)

综上可得

为犹豫模糊语言熵。

3 基于犹豫模糊语言熵的TOPSIS方法

(2)

步骤4：计算每个方案与负理想解的贴近度。方案xi与x+的相对贴近度为

(3)

本文采用文献[16]定义的犹豫语言术语的距离公式

步骤5：确定方案的优劣。Ci越大方案越优，据此可确定方案集为X={x1,x2,…,xn}的优劣顺序。

4 实例分析

例2某风险投资公司有三种备选方案x1,x2,x3，为确定最优投资目标，针对效益型指标c1,c2,c3,利用语言评估标度:S={s-3:极低(n)，s-2:很低(vl)，s-1:低(l)，s0:平均水平(m)，s1:高(h)，s2:很高(vh)，s3:极高(p)}对三个方案给出评价，评价结果如表1所示，求最优投资方案[19]。

表1 语言决策表

步骤1：将语言评价表转化成规范化的犹豫模糊语言决策矩阵。

为保证犹豫模糊语言术语的长度相同，将长度不足3的元素进行拓展，得到标准决策矩阵

步骤2：因为c1,c2,c3均为效益型指标，可得正负理解如下：

步骤3：利用

求犹豫模糊熵。这里λ取值1，t、L和N均为3。为方便起见我们记

则

通过计算可得

则E(H1S)=0.5833，E(H2S)=0.5，E(H3S)=0.8333，H1S、H2S和H3S分别为方案x1,x2,x3的犹豫模糊语言术语集。利用公式(2)得c1，c2，c3的权重为w1=0.3118，w2=0.2718，w3=0.4164。

步骤4：利用公式(3)计算可得D(H1S,X+)=0.2229，D(H1S,X-)=0.3247，C1=0.593；D(H2S,X+)=0.4284，D(H2S,X-)=0.1014，C2=0.1913;D(H2S,X+)=0.1165，D(H2S,X-)=0.3716，C2=0.7613。

步骤5：根据Ci的大小对方案x1,x2,x3进行排序，得x3≻x1≻x2。因此最佳投资方案为x3，同文献[19]具有相同的结论。

5 结论

在当前复杂多变的经济社会环境中，我们所面临的决策环境具有较大的模糊性和不确定性，因此犹豫模糊语言比模糊语言更具有现实意义。本文将熵理论引入了纯犹豫模糊语言的多属性决策分析中，定义了犹豫模糊语言熵的概念，并依据概念给出了一种犹豫模糊语言熵的具体表达式。最后，针对权重准则完全未知，准则值为犹豫模糊语言的多准则决策问题，给出了基于犹豫模糊熵的TOPSIS多属性决策方法，丰富和发展了犹豫语言模糊集理论。该方法可应用于风险投资、供应链管理等实际决策问题。