信号与系统结合MATLAB案例式教学

熊莎莎 缪奇航 崔文超

摘要：信号与系统课程概念抽象，公式复杂，理论性强，造成学生理解困难。重点讨论课程中有关卷积定理和连续信号傅里叶变换中的重难点，用可视化的方法进行探索，通过课题组开发的MATLAB教学实践平台的演示，使信号分析的过程和结果更加直观和形象地呈现。实践证明该平台操作简单，易于观察，交互性强，能够激发学生学习热情，增加课堂互动性，改善教学质量。

关键词：信号与系统；卷积定理；傅里叶变换； MATLAB

中图分类号：TN911 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2019）05-0254-03

Case Teaching of Signal and System Using MATLAB

XIONG Sha-sha， MIAO Qi-hang， CUI Wen-chao

（College of Computer and Information Technology， Three Gorges University， Yichang 443000，China）

Abstract： The course of signal and system is abstract in concept， complex in formula and strong in theory， which makes it difficult for students to understand. It focuses on discussing the key and difficult points of convolution theorem and continuous signal Fourier transform in the course， and explores with visual method. Through the demonstration of MATLAB teaching practice platform developed by the research group， the process and results of signal analysis are presented more intuitively and vividly. Practice has proved that the platform is simple to operate， easy to observe， interactive， can stimulate students' learning enthusiasm， increase classroom interaction， and improve the quality of teaching.

Key words： signal and system； convolution theorem； Fourier transform ； MATLAB

1 引言

信號与系统课程知识体系庞大，逻辑性强，理论严谨，以高等数学、大学物理和电路等课程为基础，通过复杂的数学推导及演算得到理论公式。这不仅要求学生有深厚的数学功底，还要求其对物理概念有较通透的理解。如果学生仅仅是死记硬背公式和概念语句，不了解其中的理论意义和推导过程，就很难去进一步学习，或者不懂如何将所学的知识应用到实际问题中，一定程度上限制了学生学习的主动性和创新性，日后难以全面发展。

在传统的板书和多媒体教学的基础上，引入MATLAB的教学实践平台，让晦涩难懂的理论公式化为更具有直观性的信号图像，可以帮助学生更好地学习理论知识，增强学习积极性，为今后的程序设计打下夯实的基础。

2 典型信号

在《信号与系统》课程讲解前，可以先引入基本信号的图像让学生积极导入课堂。在传统教学课程中常采用电子课件显示或黑板手绘，这样会显得单调或有误差，易让学生感到课堂乏味。通过MATLAB绘制一些典型的基本信号图形，可以让学生更加深刻理解信号图形与其数学表达式的关系，为深入学习打下基础。下面以指数信号和正弦信号为例进行实验。指数信号[ft=Αeαt]，取幅值[Α=4]，时间系数[α=2]，得到的指数信号波形如图1（a）所示。正弦信号[ft=Αsin2πft+?]，取幅值[Α=1]，频率[f=12Ηz]，初相位[Φ=0]，得到的正弦信号波形如图1（b）所示。由图1实验波形可知，实验效果符合理论结果，教学实践平台达成预期效果。

（a）指数信号波形

（b）正弦信号波形

3 卷积定理

在信号与系统的教学中，卷积定理在时域运算中占有非常重要的地位。卷积积分其实是一种数学方法，由此得到的有关图形能够形象地表示卷积的含义，对卷积概念的理解十分有帮助。通过板书推导公式和MATLAB教学实践平台中代码生成过程及其绘图结果结合，细致地引导学生去理解卷积积分在此门课中的应用。

3.1连续时间信号卷积定理

下面以连续时间信号卷积为例，从理论层面对卷积定理做进一步的推导。对于任意两个连续时间信号[f1t]和[f2t]，则积分

[-∞+∞f1τf2t-τdτ] （1）

称为函数[f1t]和[f2t]的卷积积分。

一般采用图解法对两个连续时间信号做卷积积分运算，有如下五个步骤：

（1）改变两个图形的横坐标，将[t]改为[τ]，[τ]变为函数的自变量；

（2）将其中任一信号以纵坐标为轴线做反转变换，得镜像对称函数；

（3）再将反转变换的信号做位移变换，位移量为[t]（[t]为参变量）；

（4）两信号重叠部分相乘；

（5）将相乘后图形进行积分，或计算重叠部分面积即为积分值。

3.2 结合MATLAB演示卷积定理

接着运行MATLAB教学实践平台，交互输入方波一、方波二，再运用MATLAB自带的conv函数，得两个方波的卷积结果如图2所示。通过图2实验波形和上述图解法理论实现卷积过程可得，两个方波的卷积积分后的图像为三角形，从而说明了卷积积分是两个信号重叠部分相乘得面积。实验效果符合理论结果，教学实践平台界面达成预期效果。

4连续周期信号的傅里叶变换

信号与系统的课程教学中，傅里叶级数理论不仅是由时域过渡到频域的一个承前启后的重难点，而且是传统理论讲解的难点。此时能够通过MATLAB教学实践平台，使周期信号的众多各次谐波及其组合叠加的过程被形象可视化，这能让学生很好地去理解、分析频域理论思想，加深学生对傅里叶级数理论的印象和理解。从而进一步分析连续周期信号的傅里叶频谱及其特点，引导学生对这个知识点进行分析和总结。

4.1周期信号的傅里叶级数

根据傅里叶及其众后人补充得到了这个经典结论：任何周期信号只要满足狄里赫利条件，就认为是由直流分量和一系列各次谐波分量叠加组合而成。基于上述原理，周期为T的信号[ft]能表示成两种形式的收敛正弦函数级数。这两种形式分别如下式（2）、（6）所示。

[ft=a0+n=1∞ancosnΩt+bnsinnΩt] （2）

式（2）中，基波 （即一次谐波）的角频率[Ω=2πT]，各个傅里叶系数分别为：

[a0=1T-T2T2ftdt=0] （3）

[an=2T-T2T2ftcosnΩtdt] （n=0、1、2、…） （4）

[bn=2T-T2T2ftsinnΩtdt] （n=0、1、2、…） （5）

[ft=A02+n=1∞AncosnΩt+?n] （6）

式（6）中，[A0=a0，An=a2n+b2n，?n=-arctanbnan]其中第一项[A02]是常数项，它是周期信号中所包含的直流分量。一般而言，[AncosnΩt+?n]称为n次谐波，[An]是n次谐波的振幅，[?n]是其初相角。

4.2 MATLAB验证傅里叶经典结论

由于需要一系列不同频率的正弦信号进行叠加组合，此项工作比较烦琐且难以通过一般的绘图工具实现，这时采用MTLAB教学实践平台能够有效结合理论公式快速运用自带函数绘出验证视图。

以连续周期矩形信号为例，如图3所示为1次谐波、5次谐波、9次谐波、20000次谐波组合叠加的信号波形对比图，当n=20000时，合成信号波形非常接近于周期矩形信号波形。从而拓展得到重要结论：当谐波叠加次数足够多时，任合连续周期信号都能表示成众多不同频率的正弦信号的叠加组合。

4.3傅立叶变换中的吉布斯现象

在MATLAB中绘制出吉布斯現象如图4所示，引导学生观察图4中的现象。发现其中的曲线a（即为217次谐波叠加）在间断点附近出现振荡，并且观察到峰起越来越靠近间断点，引出吉布斯现象。接下来讲述吉布斯现象出现的原因：将具有不连续间断点的周期函数进行傅立叶级数展开后，用有限项傅里叶级数表示间断点信号时，间断点的周围避免不了会出现一定的振荡和超量。超量幅度不会随所选取项数的增加而减小。当选取项数很多时，所合成的波形中出现的峰起越靠近原周期信号的间断点。当选取的项数很大时，峰起数值就接近于一个常数，从而它占有的能量减少。

4.4狄里赫莱条件

通过上述对周期矩形信号展开成为傅里叶级数的探讨，可以从其波形特点分析一下周期信号展开成为傅里叶级数的前提条件。从逻辑严谨性和理论完备性两个角度可以说明，在现实中绝非所有连续周期信号都能展开成傅里叶级数形式，需要强调的是，当且仅有当连续周期信号满足狄里赫莱条件时，才能展开为傅里叶级数。

狄里赫莱提出的三个条件是：在一个周期内，信号要满足：①绝对可积；②存在有限个不连续间断点；③存在有限极值点。当且仅当这三个条件同时满足时，连续周期信号才可以展开成傅里叶级数形式，进一步对傅里叶思想补充和完善。

4.5傅里叶级数的指数形式

傅里叶级数的三角函数形式虽然含义比较明确，但是运算十分复杂。探讨傅里叶级数的思想，经常利用傅里叶级数的指数形式。下列公式强调了连续周期信号[ft]能表达成众多虚指数信号线性叠加组合，并演算逐项分解展开式，学生能够清楚地看到虚指数信号满足一定的谐波关系，即角频率成倍数关系。即

[ft=A02+n=1∞An2ejnΩt+?n+e-jnΩt+?n=A02+12n=1∞Anej?nejnΩt+12n=1∞Ane-j?ne-jnΩt=n=-∞∞FnejnΩt] （7）

式（7）表明，任意周期信号[ft]可分解为许多不同频率的虚指数信号之和，其各分量的复数幅度（或相量）为[Fn]。

根据虚指数信号的正交性，可推导出表达式中傅里叶系数[Fn]的表达公式。指数形式傅里叶级数的复系数[Fn]公式推导如下：

[Fn=1T-2T2TftcosnΩtdt-j1T-2T2TftsinnΩtdt=1T-2T2TftcosnΩt-jsinnΩtdt=1T-T2T2fte-jnΩtdt，n=0，±1，±2，…] （8）

掌握公式推导和基本概念后，依次分析展开式中的直流分量（即常量）和n次谐波分量。为了让学生更好地了解并掌握傅里叶级数思想，讲解相关经典例题，通过一个信号分解为众多不同频率的正弦信号叠加组合，编写MATLAB相关程序形象直观地展现博里叶级数相关思想及概念，引导学生发现思考其中的规律。由MATLAB绘制的一个周期矩形信号分解为不同频率的正弦信号叠加图，如图5所示。

4.6连续周期信号的频谱及其特性

[Fn]-般是复函数，可以表示为幅度和相位的形式，即

[Fn=12Anej?n=Fnej?n] （9）

式（9）表明傅里叶系数[Fn]为连续周期信号傅里叶级数表达式中各次谐波的幅度及相位，同时也是周期信号x（t）的频谱。为了更形象地表示出信号中各分量的振幅，以频率（或角频率）为横坐标，以各谐波振幅[An]或者虚指数函数幅度[Fn]为纵坐标，可以分别得到幅度频谱（或振幅频谱）。同样，可以描绘出各谐波初相角[?n]与频率（或角频率）的图像，称为相位频谱。

连续周期信号频谱相关的概念及公式为了让学生更好地理解和掌握，讲解相关经典例题。这里采用MATLAB教学平台与黑板板书演算相结合的形式，用黑板板书演算常见的连续周期矩形信号的频谱，画出对应的频谱图，并对[Fn]进行逐步分解计算，加深并强化学生的理解和记忆。通过MATLAB绘制的连续周期矩形信号及其幅度频谱和相位频谱如图6所示。

同样，计算连续周期三角波信号的频谱并画出其幅度频谱和相位频谱。利用对比教学理论方法，对比连续周期矩形信号和连续周期三角波信号的幅度频谱和相位频谱， 引导学生发现思考其中的异同，强化对连续周期信号幅度频谱和相位頻谱的记忆。连续周期三角波信号的幅度频谱和相位频谱如图7所示。

经过探讨许多不同的连续周期矩形信号和连续周期三角波信号的幅度频谱和相位频谱有关规律， 引发学生思考并总结

归纳出在一般情况下连续周期信号频谱具有的相同特性：①离散特性：连续周期信号的频谱是由间隔为[ω0]的谱线组成。离散谱线的间隔大小是由周期信号的周期决定，即周期越小，谱线间隔越大，谱线就越稀疏。②衰减特性：幅度频谱[Fn]随着谐波[nω0]增大而逐渐衰减，并最终趋于零。强调连续周期信号频谱特性的重要性，为后续学习相关的信号，例如学习离散周期信号、连续非周期信号和离散非周期信号的频谱特性，做好铺垫。

5 结语

本文通过自主开发的可视化的MATLAB教学实践平台，将传统理论教学与实践操作有效结合，方便教师在课堂上以人机交互方式对课程中的概念和原理进行实时仿真，将深奥的理论知识生动地展现给学生，激发他们的学习兴趣。学生也可以自行操作该平台，通过将理论知识转换为代码进行仿真演示，观察波形特点及其变换等信息，更好地对信号与系统其中重难点的抽象概念和理论原理的理解和掌握。

参考文献：

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【通联编辑：王力】