MATLAB辅助的“信号与系统”理论教学研究
2019-05-23缪奇航熊莎莎崔文超
缪奇航 熊莎莎 崔文超
摘要：“信号与系统”课程在理论教学中存在着许多要点和疑难问题，尤其是信号卷积、系统时域响应以及频域响应等部分，数学公式复杂，理论性太强，学生难于理解掌握。结合MATLAB与理论教学相融合的方式来改善教学效果是研究热点。通过举例介绍MATLAB在理论教学中的具体应用，帮助学生完成信号计算以及系统分析的可视化仿真，使学生既正确理解相关理论知识，又培养了学生的信号建模及编程能力。实践表明该教学模式能有效提高学生的学习积极性和主动性，为后续课程的学习打下良好基础。
关键词：MATLAB；信号与系统；卷积；零极点；系统稳定性
中图分类号：TN911 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2019）05-0155-04
Teaching Researches on Theories of Signal and System Using MATLAB
MIAO Qi-hang， XIONG Sha-sha， CUI Wen-chao
（College of Computer and Information Technology， China Three Gorges University， Yichang 443000， China）
Abstract：There are many key points and difficult problems in the theory teaching of signal and system course， especially in signal convolution， time domain response and frequency domain response. The mathematical formula is complex and theoretical， which makes it difficult for students to understand and master. Combining MATLAB and theoretical teaching to improve teaching effect is a hot topic. This paper introduces the concrete application of MATLAB in theory teaching by some examples， and helps students to complete the visual simulation of signal calculation and system analysis， it not only enables students to understand the relevant theoretical knowledge correctly， but also cultivates students' signal modeling and programming ability. Practice shows that the teaching mode can effectively improve students' learning enthusiasm and initiative， and lay a good foundation for the follow-up courses.
Key words： MATLAB； Signal and System； Convolution； Zero-Pole； System stability
1引言
信号与系统是网络工程、通信工程、电子信息工程等电子信息类专业的一门专业核心基础课程，在电子信息类专业的教学过程中扮演着承上启下的角色， 理论性很强，在国内各个高校的电子信息类专业中该课程都设置为学位课程。
信号与系统的基本理论和方法是信号处理领域的基础，概念抽象，尤其是系统傅里叶变换、系统状态分析等难点部分，若仅以理论教学为主，难以提起学生的学习兴趣。
利用MATLAB软件编写程序，实现“可视化”教学，通过MATLAB软件实现基本信号图像的表示，实现连续信号和离散信号的卷积过程，求解连续系统的零状态响应、冲激响应、阶跃响应，离散系统的零极点分布状态、幅度频率响应、相位频率响应等，实现课本与软件结合，使枯燥的理论知识形象化、具体化，这样有利于提高教师课堂的教学效率。
2 信号与系统核心内容
信号与系统的核心内容分为信号分析和系统分析两大部分。前者涵盖了连续信号的时域分析、离散信号的时域分析、连续信号的傅里叶分析、离散信号的傅里叶分析、傅里叶变换的基本性质等主要内容；后者包含了连续系统的时域分析、离散系统的时域分析、连续系统的频域分析、离散系统的频域分析、系统的稳定性分析等主要内容。
在信号分析部分，基本信号的表示、信号的卷积运算属于其中的重点和难点；在系统分析部分，系统的零状态响应、零输入响应、冲激响应、阶跃响应是教学中的难点，也是学生最容易出现误解的知识点。下面将对这些内容的MATLAB辅助教学进行详细介绍。
3 MATLAB与理论教学有机融合
3.1经典的基本信号及其表示
在信号与系统的学习中，学生最先接触的概念就是信号，而让学生对一些经典信号有一个深刻地了解，对后面进一步的学习无疑是一个良好的开端。在理论教学过程中，传统的电子屏幕教学很难提起学生对经典信号的学习兴趣，为了让学生对连续信号中的指数信号、正弦信号、抽样信号、三角波信号，以及离散信号中的冲激信号和阶跃信号有更深入的了解，采用MATLAB绘制经典信号来辅助课堂教学。
用MATLAB繪制指数信号、正弦信号、抽样信号、三角波信号四种经典连续信号如图1的（a）、（b）、（c）、（d）所示。
在离散信号分析中，冲激信号和阶跃信号起着十分重要的作用，我们知道通常将单位冲激信号表示为[δk]、单位阶跃响应表示为[εk]，用MATLAB绘制单位冲激信号、单位阶跃信号两种经典离散信号如图2的（a）、（b）所示。
（a）冲激信号
（b）阶跃信号
图2 两种经典离散信号
3.2连续信号与离散信号的卷积运算
连续信号与离散信号的卷积运算在教学中一直作为信号运算的一个经典问题，因为学生很难理解烦琐的卷积公式及运算过程，因此在计算信号卷积的过程中容易出现理解错误和计算错误等现象。此处连续信号与离散信号各举一例作为说明。
在理论教学中，连续信号的卷积就是对两个连续函数[f1t]和[f2t]运用如下公式计算：
教学中通常采用图示法，首先，将函数[f1t]、[f2t]的自变量[t]用[τ]替换，然后将函数[f2τ]以纵坐标为轴线进行反转变换，就可得到与函数[f2τ]镜像对称的函数[f2-τ]；第二步将[f2-τ]函数沿着[τ]轴平移时间[t1]，就可以得到函数[f2t1-τ]；最后，将函数[f1t]与函数[f2t1-τ]相乘，得函数[f1τf2t1-τ]，因而当积分限为0到
[ft1=0t1f1τf2t1-τdτ] （2）
用MATLAB实现线性信号[f1t=t]和[f2t=t]的卷积结果如图3所示。
在理论教学中，离散信号的卷积就是两个离散序列求卷积和的过程，计算公式如下：
[fk=f1k?f2k=i=-∞∞f1if2k-i] （3）
教学中通常采用图示法，首先，將序列[f1k]、[f2k]的自变量用[i]替换，再将序列[f2i]以纵坐标为轴作反转变换，得到序列[f2-i]；第二步，将序列[f2-i]沿着[i]轴正方向平移k个单位，成为[f2k-i]；第三步，求乘积[f1if2k-i]，然后再将各个乘积求和。用MATLAB实现离散序列[x1k=0.8k（0 3.3连续系统零状态、零输入、冲激及阶跃响应 线性时不变（LTI）连续系统时域分析是理论课教学中的一个重难点内容，它分为零状态响应、零输入响应、冲激响应以及阶跃响应等四个部分的内容，在理论计算上是对微分方程进行求解。 连续系统的零状态响应，即当系统的初始状态为零时，仅由输入信号也就是外界激励[ft]所引起的响应，一般用[yzst]表示。一般解析思路就是先将系统的微分方程形式转换为如下所示： [i=0najyjzst=i=0mbifit] （4） 初始状态为[y（j）zs0-=0]，若微分方程均为单根，则其零状态响应为： [yzst=j=1nCzsjeλjt+ypt] （5） 以上为求解系统的零状态响应的通用解法，现在用MATLAB求解微分方程为[y''t+4y't+5yt=f't]，外界激励为[ft=e-2tεt]时系统的零状态响应曲线如图6所示。 连续系统的零输入响应，即当外界激励为零时，仅由系统的初始状态[{x0}]所引起的响应，用[yzit]表示，在零输入条件下，微分方程的右端为零，化为齐次方程如下： [j=0najy（j）zit=0] （6） 若其特征根均为单根，则其零输入响应为： [yzit=j=1nCzijeλjt] （7） 由于输入为零，故初始值为[yjzi0+=yjzi0-=yj0-]，以上为求解系统零输入响应的通用解法。现在用MATLAB求解微分方程为[y''t+3y't+6yt=0]，[y0-=0，y'0-=10]的系统零输入响应曲线如图7所示。 连续系统的冲激响应，即一个LTI系统，当其初始状态为零时，输入为单位冲激函数[δt]所引起的零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，用[ht]表示。换言之，冲激响应是外界激励为单位冲激函数[δt]时，系统的零状态响应。现在用MATLAB求解微分方程为[y''t+6y't+8yt=f''t]的系统的冲激响应，系统的冲激响应曲线如图8所示。 连续系统的阶跃响应，即一个LTI系统，当其初始状态为零时，输入为单位阶跃函数[εt]所引起的响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，用[gt]表示。换言之，阶跃响应是外界激励为单位阶跃函数[εt]时，系统的零状态响应。现在用MATLAB求解微分方程为[y''t+6y't+8yt=f''t]的系统的阶跃响应，系统的阶跃响应曲线如图9所示。 3.4离散系统的频域响应特性 离散系统的频率响应[Hejω]分析是系统分析部分的难点，由离散系统电路的模型可知，根据电路原理中所学的电压和电流之间的关系可以得到系统响应和外加激励之间的数学关系，这样一来便可以求解得到系统的响应；引入系统频域响应分析，通过研究离散系统的传输函数特性曲线以及系统的零极点分布来分析离散系统的因果稳定性，根据离散系统的幅频响应特性和相频响应特性来分析系统时域响应。 由此可见，求解离散系统的幅频响应、相频响应、零极点分布对分析系统的性质具有重大的意义，但是此部分内容复杂的公式太多，计算复杂，采用MATLAB实验教学更有利于加深学生对离散系统特性的分析的理解。 以下举例说明，已知某离散系统的系统传输函数[Hz=0.2+0.5z-1+0.2z-2+0.3z-3+0.6z-41-1.2z-1+1.6z-2-0.2z-3+0.4z-4]，现在要验证该系统是否为稳定系统，借助MATLAB绘制此离散系统的零极点分布图如图10所示。
分析图10该系统的零极点分布图，极点两个位于单位圆内，两个位于单位圆外，所以此系统是个不稳定的系统。
从上述分析可知，通过观察离散系统的极点分布，即极点是否位于单位圆内来对离散系统稳定性进行判断，但是对于一个比较复杂的离散系统而言，求零极点并不是特别的容易，教学理论上通常用劳斯准则对离散系统是否稳定进行判断，不过此判定准则过于麻烦，现结合MATLAB软件来分析离散系统的稳定性，仅仅只用调用库函数绘制系统零极点分布图像，然后直接观察极点的分布情况即可，判断极点是否在Z平面的单位圆外或是单位圆内，再依据此结论得出系统是否稳定。
为了更好地分析离散系统的时域响应，就要先研究离散系统的幅度频率特性和相位频率特性，仍以传输函数为[Hz=0.2+0.5z-1+0.2z-2+0.3z-3+0.6z-41-1.2z-1+1.6z-2-0.2z-3+0.4z-4]的系统为例，用MATLAB软件对该离散系统的幅度频率响应和相位频率响应进行求解，得出结果如图11的（a）、（b）所示。
（a）系统幅频响应
（b）系统相频响应
图11 系统的幅频响应特性曲线
4 结束语
本文仅是通过MATLAB 研发的一个小型教学平台，用于演示信号与系统理论课程的部分实例。除此之外，对于此课程中信号的傅里叶分析、复频域分析、离散系统的时域分析、以及系统的状态变量分析等理论核心知识点，也可运用MATLAB软件进行编程。方便教师教学时以人机交互方式对原理进行仿真，化抽象到形象，化复杂为简单，提高课堂效率，达到理论教学改革的良好效果。
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