基于偏微分方程的高温作业专用服装设计模型

高振　房越　许乾宸

摘 要：长期在高温环境下工作会对工作人员的生理及心理状态产生影响，引发各种意外和危机，如何设计高温作业专业服装，已经成为人们日益关注的焦点。文章建立衣服各层材料的一维无内热源热传导偏微分方程，结合各层交界处热传导平衡且温度相同的条件，建立出温度分布模型并进行分析。

关键词：热传导偏微分方程；差分法；服装设计

1 问题的提出及分析

根据2018高教社杯全国大学生数学建模竞赛（CUMCM）题目A题[1]，当人们进行救火、高温抢修等一系列高温作业时，需要穿上特制的服装来预防灼伤。这种服装由3层复合织物组成，与外界环境直接发生接触的为I层，III层与人体皮肤间的空隙为IV层。现取一个假人，将其体温控制在37 ℃左右，放置在高温环境中，最后通过测量，得到所使用的假人的皮肤外侧温度。试建立数学模型分析假人的皮肤外侧的温度变化状况，该服装的织物材料参数值在文献[1]附件1中已给出，当II层厚6 mm、IV层厚5 mm、周围环境的温度是75 ℃、工作时长90 min时，实验测得该假人的皮肤外侧温度在附件2中给出。本文试建立模型，计算温度分布情况。

由于专用服装内部的温度分布是不均匀的，故一定会发生热量从温度相对高的地方向温度相对低的地方转移的现象，即热传导。考虑到在热传导过程中，服装内无热源，故建立一维无内热源热传导偏微分方程，并找出初始条件和边界条件，建立温度分布模型，利用差分法求解，得到温度分布情况[2]。

2 模型的建立与求解

2.1 基于偏微分方程的温度分布模型的建立

显然，专用服装内部的温度分布是不均匀的，考虑到在热传导过程中，专用服装内无热源，故建立一维无内热源热传导偏微分方程，并找出初始条件和边界条件，利用差分法进行求解，得到温度分布情况。

2.1.1 热传导偏微分方程的建立

我们只考虑垂直于服装表面方向上的热传导，故建立如下一维无内热源热传导偏微分方程：

2.2 基于差分法的温度分布模型的求解

为了得到该抛物型偏微分方程的数值解，我们采用差分法进行求解。差分法的基本思想是用只含有有限个未知量的、离散的差分方程组去代替连续的偏微分方程，将差分方程组的解作为偏微分方程的近似解。原方程和边界条件中的微分替换为差分，将偏微分方程转化为差分方程来求解。步骤如下。

2.2.1 区域离散

对距离-时间（x-t）平面进行划分，将平面划分为有限个格点组成的网格，这些离散点即为网格的节点。我们将距离区间[0，L4]划分为N1等份，步长即为，则节点坐标为xi=ih（i=1，2，…，N1）。同样地，将总时间区间[0，T]划分为N2等份，步长即为，则节点坐标为tk=kτ（k=1，2，…，N2）。

2.2.2 近似代替

记点（xi，tk）处的函数值为uki=（i=1，2，…，N1；k=1，2，…，N2），用差商代替微商，则一维无内热源热传导偏微分方程的差分形式为：

2.2.3 逼近求解

当t=0时，计算得到u0i-1，u0i，u0i+1，将上一层求解的边界条件作为下一层的初始条件，并通过迭代法可以求解出u1i-1，u1i，u1i+1，进而求解出uki-1，uki，uki+1（i=1，2，…，N1；k=1，2，…，N2），运用Matlab进行求解，逐层计算。求出每层内表面的温度，令k=1，根据各层交界处的温度关系，可求得下一层的温度分布，最终得到一维无内热源热传导方程的数值解。

3 结语

通过以上的求解，我们利用Matlab绘制出了前100 s内各层材料的内表面温度随时间变化的曲线，并绘制出各层温度关于时间和距离的三维分布图（见图2～3）。

由上述实验结果得出如下结论。

（1）除I层在短时间内升温特别迅速以外，其余3层温度都处于缓慢上升过程，且越向内部温度变化越慢。

（2）皮肤外侧的温度在开始的一段时间保持不变，合理解释为最薄的一层热导率也较高，离空气越近，在较短时间内迅速升温并向内传导热量，且传导热量需要一定时间，故最初一段时间内IV层的温度变化并不显著。

（3）在时间一定时，温度随着层数的增加逐渐减少，在相同层数内，温度随着时间的增加先增长迅速后趋于稳定，最外层最终基本接近外界环境温度。

[参考文献]

[1]全国大学生数学建模竞赛组委会.2018高教社杯全国大学生数学建模竞赛（CUMCM）题目A题[EB/OL].（2018-09-13）[2019-02-25].http：//www.mcm.edu.cn/.

[2]司守奎，孙玺菁.数学建模算法与应用[M].長沙：国防工业出版社，2011.