巧借数学思考工具 促进学生深度学习

□北京外国语大学附属苏州湾外国语学校 张俊俊

心理学研究表明：人的思维认识规律是“具体——形象——抽象”。在小学阶段，教师要善用直观或物化的教具、学具、表格、图形等工具，帮助学生打开数学思维，调动学生的多种感官参与协同思考。这些直观或物化的学具、表格和图形就是数学思考工具，可以帮助学生更加顺利地展开思考过程，让学生从浅层学习走向深入。

一、以表格为媒，丰富学生的数学思维体验

在数学课堂，对数学知识的呈现与揭示，除了单纯地讲解外，还可以引入数学思维工具材料，让学生真切地体验数学。例如，在学习“用列举的策略解决实际问题”时，对五支足球队开展循环赛，一一列举一共要进行多少场比赛。一些学生虽然明白题意，但在列举中总是出现偏差。为此，我们渗透“表格法”，让学生以表格方式去透彻理解循环赛的比赛场次与对抗双方。首先，从表格中发现循环赛的对抗特点。例如，有三组足球队，每组比赛两场次，总场次为“1+2=3”；有四组足球队，每组比赛三场次，总场次为“1+2+3=6”；有五组足球队，每组比赛四场次，总场次为“1+2+3+4=10”，以此类推。让学生对照足球队组数，以及每组比赛场次、总场次的计算方法，总结计算规律。接着，分析表格，指导学生提炼解题思维。面对分组循环赛，在对比赛双方及场次计算中，方法很多，可以用画图法，可以用连线法，还可以用列式计算法。例如，有五组足球队，比赛总场次可以用“5×4÷2”来计算。其中，“5”表示有五组足球队，“4”表示每组要踢四场比赛。由于“5×4”所计算的场次，每组球队都被重复计算一次，因此需要再除以“2”。但这样来解释，一些学生还是无法理解。为此，我们从“表格法”中，对于横栏，表示“第一组”“第二组”“第三组”“第四组”“第五组”；对于纵栏，依然表示为“第一组”“第二组”“第三组”“第四组”“第五组”。具体情况如下表所示。

4 5 1 2 3 4 5 1 √√√√2 √√√3√ √√

“对角线”表示同一组不能与同一组对抗；各组对抗，画“对号”；对于“对角线”上部区域，之所以为空，是因为各组对抗只有一次，不能重复两次。例如，第二组与第三组、第四组、第五组已经对抗过了，反过来，第三组、第四组、第五组不能再与第二组对抗。由此，“表格法”让学生对循环赛制的特点有了深刻的理解。

二、以数轴为媒，促进学生透析数学思维

在小学阶段，对“数轴”的运用，我们以“数直线”为主，引领学生认识数的概念。通常，以直尺为原型，从标有刻度的直尺中，由具象向抽象延伸，让学生辨析“数”与“直线上的点”之间的对应关系。例如，在学习“求一个小数的近似数”时，我们借助于“数轴”，让学生探究近似数的本质。一个小数的近似数，让很多学生感到疑惑。以“1.50”为例，对于末尾的“0”，为什么不能去掉？我们向学生解释，“1.50”这个数的精确度在“百分位”，“1.5”这个数的精确度在“十分位”，前者比后者更精确。但这一解释，显然对于学生而言是浮于表面的。以“数轴”为媒，让学生从“数直线”中，全面、透彻地理解“近似数”的本质。引出问题：看一个数，将之精确到十分位，需要看哪个数位上的数？如果精确到百分位呢？由此得出，要精确到“十分位”，需要看其“百分位”上的数；要精确到“百分位”，需要看其“千分位”上的数，以此类推。我们来讨论“1.5”与“1.50”，如果将一个两位小数精确到“1.5”，这个两位小数，最大是多少，最小是多少？同样，把一个三位小数精确到“1.50”，

这个三位小数，最大是多少？最小是多少？我们来参照“数直线”，可以看到，近似数为“1.5”的数，介于“1.45～1.54”，范围较大，但对于近似数为“1.50”的数，其范围介于“1.495～1.504”，所以精确度会更高一些。如此一来，学生从直观、形象的“数直线”中，实现对抽象概念的显性化理解。

三、以方格纸为媒，拓展学生的数学思维空间

在数学教学中，对方格纸的运用，在“图形与几何”领域具有重要的价值。方格纸本身，以统一、规范的间隔距离，对于讨论平面图形的性质非常有用，也便于学生从中积累数学经验，深化对数学概念及概念之间逻辑关系的辨析。例如，在“方格纸上旋转简单图形”时，有学生感到不好理解，难以掌握，即便是目标先找准旋转中心，再找到与中心点连接的两条边，依然出现错误。为此，我们可以拿出一个牙签，将牙签固定于旋转中心点，让学生多次反复练习、观察、体会，增进对图形旋转的深切认知。再如，在学习“认识平行”时，根据教材中所展示的场景图片，分析这三组直线，哪些会相交？哪些不会相交？对于不相交的两条直线，我们称为“互相平行”，其中一条直线是另一条直线的平行线。由此，我们引入方格纸，让学生在方格纸上画出“平行线”，从中来认识“平行线”的关系。也可以让学生对方格纸上的几组线进行辨识、讨论，归纳平行线的性质。如“同组平行线之间，距离相等”等。

总之，在小学数学教学中，教师要善用数学思考工具，突破教学难点，帮助学生透析数学规律，揭示数学本质，提高学生的深度学习能力。