中立型四元数神经网络的稳定性分析

树金龙,熊良林，吴 涛，郑英丽

(云南民族大学 数学与计算机科学学院，云南 昆明 650500)

近年来，由于人工智能的迅速崛起，神经网络得到了更加广泛的应用与研究，涵盖了图像处理[1]、模式识别[2]、信号处理[3]、联想记忆[4]等众多领域.严格来说在系统中时滞是不可避免的，即使是光速传输信息的系统也同样面临着时滞的问题.我们知道对于系统来说时滞的存在很可能使得系统产生震荡进而造成系统的不稳定.因而时滞神经网络稳定性的研究显得尤为重要，近些年学者们得到了大量优秀的研究成果[5-9].然而，这些文章几乎都只考虑了历史状态对对目前状态的影响，没有考虑过去状态的变化对目前状态影响因素，即中立型现象.目前，学者对中立型神经网络的研究有了非常丰富的研究成果.文献[10]将切换系统与中立型神经网络相结合，通过构造新的李雅普诺夫泛函得到了时变时滞的切换中立型神经网络的鲁棒稳定性判据.文献[11]提出了新的估计器，通过构造新的李雅普诺夫泛函并结合积分不等式技巧，得到了误差系统的全局指数稳定条件.

然而，据作者了解目前还没有关于时滞中立型四元数神经网络稳定性分析的相关成果.在这篇文章中，作者将着重探究中立型四元数神经网络的全局μ稳定性.

1 预备知识

本文主要研究如下中立型四元数神经网络系统：

(1)

其中；x(t)=(x1(t),x2(t),…,xn(t))∈Q1×n为系统的状态向量，fi(·)=(f1(·),f2(·),…,fn(·)) ∈Qn×1(i=1,2,…,n)为激活函数，A=(aqp)n×n∈Qn×n和B=(bqp)n×n∈Qn×n分别表示连接权重矩阵和含有时滞的连接权重矩阵，E=(eqp)n×n∈Qn×n表示具有合适维度的矩阵，D∈Qn×n表示对角矩阵，I=(I1,I2,…,In)∈Qn×1表示外部偏置，h>0为系统的恒定时滞，初始条件x(t)=π(t)∈Q,(t∈[-h,0])为连续可微的函数，需要特别注意的是矩阵E的所有特征根均在单位圆内.

为了后续证明的需要，首先引入相关假设、定义和引理.

假设1 对于∀x∈Q，通过复分解法能够将其表示为

x=x11+ix12+jx21+kx22=x1+x2j，

假设2 如果激活函数fi(·)=(f1(·),f2(·),…,fn(·))∈Qn×1(i=1,2,…,n)满足Lipschitz条件，对于任意的y1,y2∈Cn且y1≠y2，存在常数Lν(ν=1,2,…,n)，使得下式成立

引理1[13]任意的Hermitian矩阵R>0，w(α)在[a,b]→Cn是一个可微函数，则有下式成立：

引理2[14]矩阵B∈SC(Q),则B的所有特征值都是实数.

引理3[15]M(x):Cn→Cn是一个连续映射，且满足以下2个条件

1)M(x):Cn→Cn是一个单射;

则M(x)在Cn上是一个同胚映射.

2 主要结果及证明

定理1 基于假设1和假设2，假如存在对角矩阵Ui(i=1,2,…,6)，使得下面的线性矩阵不等式成立，则系统(1)有一个唯一的平衡点.

Δ8×8<0

(2)

证明：根据假设1我们将系统(1)改写为以下形式

(3)

结合系统(1)的相关信息，构造如下的映射：

M(x1,x2)=

其中：M(x1,x2)=(M1(x1,x2),M2(x1,x2))*,

显然，根据引理3，只要M(x)在复数域上满足同胚映射定理，那么系统(1)存在一个唯一的平衡点.下面分2步证明M(x)在复数域上满足同胚映射定理.

第1步 证明M(x1,x2)是一个单射.首先在复数域上选择2个点(a1,a2)和(b1,b2)且(a1,a2)≠(b1,b2)，使得激活函数f(a1,a2)≠f(b1,b2)，则可证明M(x1,x2)是一个单射成立.

(6)

在(6)式左右两边同乘下式

得：

(8)

(9)

对(8)式进行处理，得：

(10)

(11)

根据假设2，对于对角矩阵Ui(i=3,4,5,6)，可得：

(12)

合并(11)和(12)可得：

根据定理1以及(a1,a2)≠(b1,b2)可使以下不等式成立：

则，当(a1,a2)≠(b1,b2)时，有f(a1,a2)≠f(b1,b2)，即可证明M(x1,x2)是一个单射.

根据Cauchy-Schwarz不等式，有以下不等式成立：

通过以上证明可知M(x)在复数域上满足引理3，则系统(1)存在一个唯一的的平衡点.

在定理1中作者已经证明了系统(1)平衡点的存在唯一性.接下来在定理2中作者将给出系统(1)平衡点的全局μ稳定的判据.

(13)

显然，系统(13)原点的稳定性等价于系统(1)平衡点的稳定性.

根据假设1我们能够将系统(13)转化为以下的形式

(14)

为了证明过程简洁，定义以下的符号：

定理2 对于给定标量h>0，如果存在正定的Hermitian矩阵Ri(i=1,2,…,5)∈Cn×n，常数σ1>0,σ2>0，正定的对角矩阵Qi(i=1,2,…,6)∈Rn×n，且μ(t)是一个正定连续的函数，

使得线性矩阵不等式(15)成立.则称系统(1)是μ稳定的.

Ξ9×9<0,Ω9×9<0.

(15)

Ξ1,3=R1-Q6-Q5D*,Ξ1,4=E1Q6, Ξ1,5=A1Q6, Ξ1,6=B1Q6, Ξ1,7=-A2Q6,

Ξ3,3=R5-2Q5+hR4,Ξ3,4=E1Q5, Ξ3,5=A1Q5, Ξ3,6=B1Q5, Ξ3,7=-A2Q5,

Ξ3,8=-B2Q5, Ξ4,4=-δ2R5, Ξ5,5=R3-Q1, Ξ6,6=-δ2Q2-δ2R3, Ξ7,7=-Q3,

Ω3,7=A2Q5,Ω3,8=B2Q5,Ω4,4=-δ2R5,Ω5,5=R3-Q1,Ω6,6=-δ2Q2-δ2R3,

证明：构造如下新的Lyapunov-Krasovskii泛函：

V(t)=V1(t)+V2(t)+V3(t)+V4(t).

(16)

对V(t)求导，可得

(17)

应用引理1对(17)式进行处理，我们能够得到：

根据假设2，对于任意的对角矩阵Qi≥0(i=1,2,3,4)有：

(18)

其中Γi(i=1,2,3,…,8)与假设2中的L类似.

根据系统(1)的状态方程我们引入以下的不等式，其中对角矩阵Qi≥0(i=5,6)

(19)

A2e7+B1e6-B2e8]+[-e3-De1+Ee4+A1e5-A2e7+B1e6-B2e8]*[e3Q5+e1Q6]+

[-m3-Dm1+Em4+A1m5+A2m7+B1m6+B2m8]*[m3Q5+m1Q6]≤

其中Ξ和Ω已在定理2.2中有所定义.

3 数值例子

以下例子可检验文章方法的有效性和结论的正确性.

图1描述了中立型四元数神经网络(1)的状态轨迹.

利用Matlab工具箱对中立型四元数神经网络(1)进行了数值模拟.图1描述了系统状态的4个部分,从图中可以看出每个神经元状态都能达到稳定状态.因此中立型四元数神经网络(1)是全局指数稳定的.

图1 中立型四元数神经网络状态轨迹

4 结语

文章讨论了中立型四元数神经网络的全局μ稳定.首先，使用复分解法将中立型四元数神经网络系统转换为两个复值系统并证明了中立型四元数神经网络解的存在唯一性.然后，构造了新的李雅普诺夫泛函并给出了中立型四元数神经网络的全局μ稳定的稳定性条件以及它的一个推论.最后，用一个数值算例验证了该方法的有效性和结论的正确性.将来，在此文章的基础上还能够研究时变时滞中立型四元数神经网络的稳定性和同步性问题.