静电力平衡式石英挠性加速度计闭环控制系统的设计与分析*

刘燕锋，刘吉利，马官营

0 引 言

加速度计是惯性导航系统中最基本的传感器之一.随着对航天器导航、制导精度要求的提高，对加速度计的测量精度的需求也进一步提高.现有的液浮摆式加速度计和石英挠性加速度计的精度在10-6g范围以内[1]，难以满足高精度导航的任务需求.静电悬浮加速度计可实现超高分辨率，适合测量缓慢变化的微弱加速度，量程极小，主要用于空间微加速度的测量[2-4].

为了满足导航系统高精度加速度测量要求，综合石英摆式加速度和静电悬浮加速度计的优点，研制了一种静电力平衡式石英挠性加速度计.该加速度计采用静电力实现力反馈闭环，代替传统石英挠性加速度计使用的电磁力闭环，无需在结构上设计线圈和永磁体，结构简单，且力反馈精度高，可满足空间电推进加速度的测量精度要求.

静电力平衡式石英挠性加速度计采用静电力反馈、电容检测的驱动检测方式.随着加速度计测量精度的提高，机械热噪声成为影响加速度计精度的主要因素之一，因此加速度计表头需要具有高真空度，这导致加速度计表头的阻尼为0，在摆片固有频率处产生振荡.同时，加速度计驱动电容的极板之间的电压差会引起静电力负刚度，导致加速度计在动态工作条件下表头刚度不断发生变化，甚至整个表头刚度变为负数，影响加速度计的正常工作.因此，根据静电力平衡式石英挠性加速度计的表头参数特点进行闭环控制系统的设计具有重要意义.

本文针对静电力平衡式石英挠性加速度计，建立了加速度计表头的系统模型，建立了摆片的刚度模型和挠度模型，并分析了静电力负刚度对表头系统模型的影响；在闭环控制系统中引入了阻尼补偿环节，并设计了系统校正环节，提高了系统的稳定性和快速性动态特性.

1 加速度计表头模型

静电力平衡式石英挠性加速度计表头主要由敏感摆片、驱动电容和检测电容构成，如图1所示.

图1 静电力平衡式石英挠性加速度计表头示意图Fig.1 Schematic diagram of electrostatic force-balance quartz-flexure accelerometer

设测量加速度为a，摆片转动角度为α，敏感摆片的动力学微分方程为[5]：

(1)

其中，P为摆片的摆性，设摆片质量为m，摆片质心距离(相对悬臂梁固定端)为L，则摆性P=mL；J为摆片的转动惯量；K为摆片的转动刚度；C为摆片的转动阻尼，当表头具有高真空度时，C≈0.

则表头系统的传递函数为：

(2)

当摆片转动时，驱动、检测电容的电极间隙变化不均匀，影响驱动力和检测电容变化量等参数.下面对加速度作用下摆片的刚度和挠度进行分析.

敏感摆片主要由挠性梁和敏感质量块组成.敏感质量块的厚度为几百μm，挠性梁的厚度仅为十～几十μm，因此敏感摆片的刚度由主要由挠性梁刚度组成.敏感摆片可以等效为悬臂梁模型，如图2所示.

图2 敏感摆片示意图Fig.2 Schematic diagram of sensitive pendulum

悬臂梁任意截面x处的转角θ和挠度y的关系满足tanθ=dy/dx.

悬臂梁质心处受到作用力为F=ma,挠性梁的弯矩方程为[6]：

M(x)=-F(L-x)

(3)

边界条件满足：

(4)

式中，y0表示当x=0时，挠度y的取值，以此类推.

设摆片材料的杨氏模量为E,挠性梁惯性矩为I,则挠性梁的转动微分方程为：

(5)

由方程(3)～(5)可求得挠性梁转角公式和挠度公式：

(6)

(7)

则挠性梁的转动刚度为：

(8)

敏感质量块可等效为刚体，不发生形变.则当x≥l时，悬臂梁(敏感质量块)的挠度公式为：

(9)

由式(9)可以求得摆片各位置的位移，即电容间隙的变化量.敏感质量块的位移梯度为：

(10)

随着作用力F的增大，敏感质量块的挠度梯度增大，电容间隙变化量的不均匀性增大.当加速度计在开环工作或测试条件下，需要考虑电容间隙变化量不均匀对驱动、检测参数的影响.

因此，加速度计一般工作在力平衡闭环条件下，摆片受平衡力的作用一直工作在平衡位置附近，转动角度十分小，电容间隙变化量可以近似为恒定值，等效为电容面积形心处的位移.

静电力平衡式石英挠性加速度计采用静电力反馈，在差分式驱动电容上施加反馈驱动力.设介电常数为ε,电容面积为Ad,电容初始间隙为dd,则单边驱动电容的初始值为Cd=εAd/dd[7].施加在摆片驱动电极上的恒定直流电压为Vb;施加在另一个驱动电极上力平衡反馈电压为Vf,差分驱动电容上的力平衡反馈电压大小相等，方向相反.当摆片位移为z时，差分式驱动电容的总储存能量为：

(11)

差分式驱动电容上总静电力为：

(12)

式(12)中，右项为反馈静电力，通过改变反馈电压Vf的大小，即可改变反馈静电力的大小；左项为负刚度静电力，该力与摆片位移呈正比，等效静电力负刚度(转动)为：

(13)

因此，加速度计表头系统的总刚度为K′=K-Ke,且随着摆片位移变化量的增大而减小，甚至为负刚度.

2 加速度计闭环控制系统

为了提高加速度计表头的工作稳定性和工作精度，需要合理设计加速度计闭环控制系统.

为了提高加速度计的精度，降低机械热噪声，加速度计表头需要具有高真空度，导致表头系统阻尼为0，在摆片固有频率处产生振荡，因此需要在加速度计闭环控制系统中设计阻尼补偿环节.表头系统的谐振频率较低，导致加速度计带宽低，摆片位移变化时，表头系统刚度发生变化，因此需要增大加速度计闭环控制系统的带宽，增加表头刚度变化条件下的闭环系统鲁棒性.

以一款静电力平衡式石英挠性加速度计参数进行闭环控制系统的设计与仿真分析.

在高真空度下，表头系统的传递函数为：

(14)

仿真得到表头的开环频率特性曲线如图4所示，系统在频率14.5 Hz处有一个谐振峰，工作过程中易发生振荡.

图3 加速度计闭环控制系统框图Fig.3 Close-loop control system of accelerameter

图4 加速度计表头的开环频率特性曲线Fig.4 Open-loop frequency response of accelerometer

经过阻尼后补偿后的传递函数为：

G2(s)=

(15)

加速度计的检测放大参数KCKD≈5 000,力反馈参数由驱动电容的力放大系数决定：Kfb≈1.22×10-7,阻尼补偿环节的设计参数为KP=20，τ=0.005.仿真得到阻尼补偿后系统开环频率特性曲线如图5所示.经过阻尼补偿后，系统不出现振荡，但该系统闭环后不稳定且带宽较低，需要引入校正环节[8-9].

图5 阻尼补偿后系统开环频率特性曲线Fig.5 Damping-compensated open-loop frequency response of accelerometer

为了消除系统的静态误差，在系统中引入积分环节，积分后的系统开环频率特性如图6所示，系统开环截止频率18.63 kHz，相角裕度0.7°.系统的开环截止频率过大，相角裕度过小，不满足系统稳定性和动态特性的要求，因此需要加入校正环节.

图6 加入积分环节后系统开环频率特性曲线Fig.6 Open-loop frequency response with integral element

采用超前校正环节来进行系统校正，选定校正环节表达式为：

(16)

校正后的系统开环频率特性曲线见图7.系统开环截止频率1 579 Hz，相角裕度78°，满足系统稳定性条件.校正后的系统闭环频率特性曲线如图8所示，幅频特性曲线无谐振峰，系统的阻尼比接近0.707，系统带宽约2 380 Hz.

图7 加入校正环节后系统开环频率特性曲线Fig.7 Open-loop frequency response with correction element

图8 加入校正环节后系统闭环频率特性曲线Fig.8 Close-loop frequency response with correction element

加速度计闭环系统阶跃响应图线如图9所示，系统超调量为3%，调节时间为0.5 ms，闭环系统稳定.

图9 闭环系统的单位阶跃响应曲线Fig.9 Step response of closed-loop system

下面分析静电力负刚度增大对闭环系统的影响.由于加速度计工作在闭环条件下，摆片在平衡力的作用下工作在平衡位置附近，受到的静电力负刚度接近0(在平衡位移处为0).为了验证闭环系统稳定性，取比较极端的情况，设静电力负刚度增大到原系统刚度的20倍，加计表头系统的传递函数为：

(17)

仿真得到表头的开环频率特性曲线见图10，系统相位恒定为-90°，系统不稳定.

图10 静电力负刚度增大后的表头系统的开环频率特性曲线Fig.10 Open-loop frequency response of accelerometer with the increase of negeative stiffness

闭环系统频率特性曲线如图11所示，系统带宽为2 383 Hz.闭环系统阶跃响应图线如图12所示，系统超调量为3%，调节时间为3 ms，闭环系统依旧稳定.

图11 静电力负刚度增大后的系统闭环频率特性曲线Fig.11 Close-loop frequency response with the increase of negeative stiffness

图12 静电力负刚度增大后的闭环系统的单位阶跃响应曲线Fig.12 Step response of closed-loop system with the increase of negeative stiffness

3 结 论

本文针对一种静电力平衡式石英挠性加速度计，建立了其表头系统模型并设计了一种静电力力平衡式闭环控制系统.针对表头摆片摆动引起的电容间隙不均匀对驱动、检测参数的影响，建立了摆片的刚度模型和挠度模型，为加速度计的驱动、检测设计提供了理论基础.针对加速度计表头高真空度引起的表头振荡，在闭环系统中引入阻尼补偿环节，并在加闭环系统中设计积分环节和校正环节来增加系统的快速性和稳定性.仿真结果表明，系统带宽约2 380 Hz，阶跃响应的超调量为3%，调节时间为0.5 ms.当系统静电力负刚度增大时，闭环系统也可以稳定工作.