论假设检验方法的基本思想和实际运用

孙辰展

摘 要：假设检验是数理统计学中由样本推断总体的一种常见方法。本文主要研究了假设检验的基本思想和原理，并列举了包括均值检验、比例检验、方差检验三种常见的检验方法，并以具体案例探讨了假设检验方法的实际计算与运用。

关键词：假设检验 基本思想 运用

引言

客观世界是复杂的，人类探索未知世界的历程，正是不断提出猜想，并验证一个个主观假设的过程。而统计学中的推断方法，正是辅助人类进行科学、理性判断的重要利器。

一、假设检验的基本思想

1.基本概念

一般来说，我们可以把统计学分类为描述统计和推断统计两种类别，而假设检验正是一种常见的推断统计方法。假设检验（Hypothesis Testing）是一种利用样本推断总体的推断统计，首先会对总体的某个参数提出假设，在设定原假设成立的情况下进行取样并计算样本发生的概率，如果发生概率足够小，则认为原假设不成立。假设检验利用了“小概率”的数学思想，在科学界得到了广泛运用。

假设检验起源于国外著名的“品茶试验”。著名的统计学家Fisher在论文中提到：在一场英式下午茶中，一位女士告诉大家她有一项神奇的本领，即她可以通过品茶来辨别奶茶制作过程中牛奶和茶倒入杯中的先后顺序。为了验证女士的神奇能力，Fisher为她设定了一个检验方式：调配了6杯除了倒入顺序不同，其他条件完全一样的奶茶让女士进行辨别，以判断女士是否说谎。

Fisher利用了这样的思想，首先他假设：女士没有这样的能力，这样的原假设显然符合大家的常识判断。在这个假设成立的情况下，女士所谓的“品茶”实则便是毫无依据的瞎猜了。在这样的情况下，女士如果猜对的杯数足够多，那说明在原假设的情况下发生了一个小概率的事件，我们倾向于认为我们的原假设是存在错误的，即否定我们的原假设，认为该女士存在这样的能力。实验的结果令人吃惊，该女士真的把6杯奶茶的倒入顺序全都答对了。不难计算，如果是瞎猜的话，全猜对的概率为1/64，这显然是一个小概率事件。因此，Fisher推翻了原假设，认为该女士确实存在这样的神奇能力。

2.基本步骤

不难发现，在实际运用中，假设检验方法有其固定的操作步骤，基本流程分别为：

（1）提出原假设和备则假设。

原假设一般用H0表示，备则假设使用H1表示，需要注意的是，原假设和备则假设都是对于总体特征的假设，它们是相互联系且互相对立的假设;

（2）选定检验方法，构造合适检验统计量。

检验统计量是根据抽取样本所构造出的随机变量，包含了所要检验的总体参数，以便用于检验原假设是否成立。需要特别注意的是，检验统计量一般在原假设成立时服从特定的分布，从而便于计算样本概率。

（3）确定显著性水平a，计算P值，做出判断。

根据上面的“品茶”案例我们发现，小概率事件的判定是具有主观性的，这一标准称为显著性水平a。显著性水平的定义将直接影响到推断结果。在上个案例中，在女士成功品出六杯奶茶后，如果我们把显著性水平定为0.05，则小概率事件发生了，我们需要拒绝原假设;而当我们把显著性水平定为0.01，则小概率事件并未发生，我们需要接受原假设。P值，则是检验统计量超过样本观测值的概率，也即是能够拒绝原假设的最小显著性水平。当我们计算出P值后，当 时，我们便拒绝原假设，反之则接受原假设。

3.假设检验中的两类错误

由于假设检验总是利用有限的样本信息对总体进行推断，检验和推断中是可能发生错误的。一般来说，假设检验可能会犯两种错误，分别为第一类错误和第二类错误。

一般来说，我们主要控制第一类错误发生的概率，即显著性水平a。

二、假设检验的常见类型

1.均值检验

（1）基本方法

均值检验主要检验的是总体的均值是否符合我们的假设，这里主要列举当总体服从正态分布，且总体方差已知的情况。

通过查表可知 则 ，检验统计量落入了拒绝域，则拒绝原假设，认为该机器已经不符合生产标准。

2.比例检验

（1）基本方法

比例检验主要检验的是总体中符合某些特征的个体占比是否符合我们的假设。当样本数量较大时，假设检验可以帮助我们进行某些特定比例的检验。

我们使用π表示总体比例，其中π0为已知常数，给出原假设和备则假设：

此时，确定显著性水平a，则当 时，我们拒绝原假设，反之，我们则接受原假设。

（2）实际案例

一款手机app负责人声称其受众有60%为女性，为了验证这一判断，调查者随机抽取了100位用户进行验证，发现有50人为女性。设定显著性水平a为0.05，试问该负责人的说法是否准确？

通过查表可知 则 ，检验统计量落入了拒绝域，则拒绝原假设，认为该负责人的说法不够准确。

3.方差检验

（1）基本方法

方差检验主要检验的是总体的方差或者标准差是否符合我们的假设，这里主要列举一个总体的情况。

已知 ，μ未知，其中 为已知常数，需要检验总体方差：

我们只需取总体的随机样本 ，由于样本方差 是 的无偏估计，当原假设为真，即 时，构造检验统计量 ：

此时，确定显著性水平a。由于卡方分布是大于零的单侧分布，则当 或 时，我们拒绝原假设，反之，我们则接受原假设。

（2）实际案例

白酒生产企业采用机械化生产线，生产标准规定每瓶酒的装填量的标准差应该维持在4ml附近。为了检验每瓶酒的装填量的误差，工厂负责人设计了一个假设检验：随机抽取了10瓶酒，发现样本标准差s=3.9ml，假设显著性水平为0.1，请问该生产线是否符合标准？

首先，设定原假设和备则假设：

检验统计量：

通过查表可知 ，则检验统计量8.556并未落入拒绝域，因此接受原假设，认为生产线符合生产标准。

结语

假设检验是一种理性科学的推断方法，在数据有效性、质量控制等领域起到了重大效用，因而广泛运用于学界、工业界。合理掌握假设检验方法，有助于辅助人类决策，避免主观误差，提高管理效率。

参考文献

[1]吴启富，张玉春.统计假设检验中小概率原理的辨析[J].统计与决策，2012（17）：70-71.

[2]魏立力，张定强.确定假設检验拒绝域的证据原理[J].数学的实践与认识，2018，48（16）：196-200.

[3]康铁祥.深入理解假设检验原理[J].统计教育，2001（01）：22-23.