关于高中数学离心率题型解法的有效解决技巧

刘子泉

【摘 要】在高中数学中，离心率是描述圆锥曲线性质的一个重要概念，是圆锥曲线的一个重要属性。其定义是：到定点的距离与到定直线的距离的比是常数（记作e）的点的轨迹叫做圆锥曲线.其中常数e就是圆锥曲线的离心率，当01时为双曲线离心率;当e=1时为抛物线离心率.它可描述椭圆的扁圆程度、双曲线的开口大小，所以这类知识相关的题型考查的重点是圆锥曲线离心率的求值。

【关键词】高中数学;离心率;题型;解决技巧

【中图分类号】G633.6       【文献标识码】A

【文章编号】2095-3089（2019）09-0280-01

数学思想方法的学习和领悟能使所学的知识不再是零散的知识点，它能帮助形成有序的知识链，建立良好的认知结构;它是铭记在人们头脑中起永恒作 用的数学观点和文化，是使提高数学思维水平，建立科学的数学观念，从而发展 数学、运用数学的保证，因此必须重视数学问题中蕴含的思想方法。

一、数学离心率题型的概念

离心率是一个重要的几何性质，所以会与几何图形性质有着千丝万缕的联系，圆锥曲线的离心率是高考中常考的一个知识点，年年高考年年有，变幻无穷新视角，随着新高考试题将平面解析几何的基础问题——斜率、平行、离心率与向量有机结合，并与物理的光学知识结合，形成一个体现综合能力的基础题，教师更要挖掘平行条件、反射条件以及准线知识才能确定离心率的大小，其中平面向量充当一个“舞手”将圆锥曲线描绘的五彩缤纷.在平面解析几何中，涉及线段长度，线与线的夹角，以及线与线的位置关系，而这些关系都可以用向量加以描述，因此向量与解析几何的融合呈现出一个命题特点。

二、数学离心率题型解法的技巧

1.利用判别式得出不等式，求离心率的取值范围。

【例1】已知P是F1、F2为焦点的椭圆+=1（a>b>0）上一点，若PF1⊥PF2，tanb>0）的两个焦点为F1、F2，长轴两端点为A1、A2，

（1）若椭圆上存在一点Q，使∠F1QF2=120°，求椭圆的离心率的取值范围。

（2）若椭圆上存在一点Q，使∠A1QA2=120°，求椭圆的离心率的取值范围。

解：（1）设Q（x，y），F1（-c，0），F2（c，0），│QF1│=a+ex，│QF2│=a-ex，在△F1QF2中，│F1F2│2=│QF1│2+│QF2│2-2│QF1││QF2│cos∠F1QF2，即4c2=（a+ex）2+（a-ex）2-2（a-ex）（a+ex）cos120°，化简得x2=，又∵0≤│x│≤a2，0≤││≤a2，∴≤e≤1，又00），与直线l：x+y=1相交于两个不同的点A、B，求双曲线的离心率的取值范围。

2.利用变量之间的关系构造函数关系式求离心率的取值范围。

【例2】B（-c，0），（c，0），AH⊥BC垂足为H，且=3，D分有向线段的比为λ，A、D同在以B、C为焦点的椭圆上，当-5≤λ≤-时，求椭圆的离心率的取值范围。

解：设H的坐标为（x0，0）有=3得x0=，∴H的坐标为（，0），又AH⊥BC，可设A的坐标为（，y0）。

设D（x1y1），有D分有向线段的比为λ得x1=，y1=，设椭圆的方程为+=1（a>b>0），把A、D的坐标代入椭圆的方程得+=1……（1）+=1……（2），由（1）得=1-，代入（2）得e2=+1，∵-5≤λ≤-，∴≤e2≤ ∴≤e≤。

3.利用离心率求参数的取值范围。

【例3】已知椭圆C的方程为+=1（a>b>0），双曲线方程为-=1（a>0，b>0）的两条渐进线为l1与l2，其中l2的斜率为正值，过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l1，又与l2交于P点，设l与椭圆C的两个交点由上而下依次为A、B。当FA=λAP时，求λ的取值范围。

解：由题意可得，l2的直线方程为y=x，∵l⊥l1，可设l的方程为y=（x-c），求交点P点的坐标为（，），由FA=λAP得A。又∵A在椭圆上，把A的坐标代入+=1，得+=1，即（c2+λa2）2+λa4=（1+λ）2a2c2，等式两边同除以a4得（e2+λ）2+λ2=（1+λ）2e2，整理得λ2==（2-e2+）+3，∵00），则B（2x，2y），根据椭圆的性质有c=2x，a=，所以椭圆的离心率为e==，根据椭圆的第二定义知，点B左焦点与到准线的距离为比等于离心率e，即=e=，化简得y2=4x，所以点M的轨迹方程为y2=4x（x>0）。

三、数学离心率题型解法的变式

【变式一】已知双曲线同类变式1：x 2 y2=1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的a 2 b2右支上，若此双曲线的离心率为e，且PF1=e ，则e的最大值为多少。

由题意及椭圆第二定义可知PF1=me∴PF1+PF2=m（e+1）=2a m=2a，可知∵PF2 PF1≤F1 F2（当且仅e+1）2a代入化简可得e+1

当P，F1，F2三点共线等号成立）∴m me≤2c，把m=2a（1 e）≤2c e2+2e 1≥0 e≥2 1又e<1∴e∈2 ，∴答案为e+1

【反思】求解圆锥曲线离心率的取值范围，是复习解析几何的主要题形，也是高考常考的内容之一，线离心率的取值范围，是复习解析几何的主要题形，也是高考常考的内容之一，解决此类问题关键是掌握其曲线本质，则就变得容易了。

总之，圆锥曲线离心率相关的知识是高考的常考题型，教师在围绕圆锥曲线可以从多个角度多个层面来考查学生综合运用圆锥曲线知识和分析问题解决问题的能力。因为离心率是圆锥曲线中的一个重要元素，它的變化会直接导致圆锥曲线的形状和类型，同时它也是圆锥曲线统一定义中的三要素之一，所以与轨迹问题密切相关;同时，因为不同的圆锥曲线的离心率有不同的范围，因此可以求参数的取值范围。

参考文献

[1]王晓云. 高中数学求离心率e值的解法初探[J]. 教书育人， 2017（20）：79-79.

[2]沈文慧. 高中数学“离心率问题”的求解方法[J]. 理科考试研究：高中版， 2015， 22（11）：6-6.

[3]孟凡勋. 圆锥曲线离心率问题的探究策略[J]. 高中数学教与学， 2010（2）.