《用二分法求方程的近似解》教学设计

曾国文

一、教材分析

本节课关注学生最近发展区，从具体到一般去分析方程的根与对应函数零点之间的关系，再通过实例介绍求零点近似值的“二分法”，渗透“二分法”蕴含丰富的算法思想，为算法学习做铺垫。另教材中还希望学生受到数学文化熏陶，培养学生对数学学科兴趣，产生探索欲望，推动数学的前进与发展，因此还介绍古今中外数学家在方程求解方面所取的成就及贡献。

二、教学目标

1.知识目标：通过实例让学生观察、感悟、体会、理解二分法的概念及二分法定义。

2.能力目标：借助现代化的信息技术，能用二分法求方程的近似解。

3.情感目标：体会逼近过程，深化数形结合、函数与方程等重要数学思想方法的认识，感受从特殊到一般这种严谨的探索新知识方法的价值。

三、教学重点、难点

重点：通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根的内在联系。

难点：灵活运用二分法求给定精确度的方程（超越方程）的近似解。

四、教学方法

合作探究、知识拓展等。

五、教学过程

（一）复习回顾，有效引入

1.复习：（1）函数零点的定义；（2）判断函数零点所在区间的方法（零点存在定理）。

练习：求下列函数的零点：（1）f（x）=3x-4；（2）f（x）=x2-3x+2。

2.引入：我们之前能求解一元一次方程、一元二次方程等，那若碰到f（x）=lnx+2x-6这样的函数，则应怎样求解它的零点呢？

分析：上节课利用判断函数零点所在区间的方法判断出函数零点的大致区间是（2，3），原因是，f（2）<0，f（3）>0，怎样把区间逐步缩小呢？

（二）科学探索，真知发现

1.先看一个具体实例：假若在某城市的A地到B地，距离2000米的路段發生电路故障，现派一名电工进行修理，问：电工应采用什么方法能快速准确找到这个故障点？

甲组：沿路进行检测；

乙组：每隔50米检测一次，找到所在范围再沿路检测；

丙组：先找中点的位置，对两边进行测量，确定一侧之后再取中点，不断地测量下去；

经过共同分析探讨，发现丙组同学的方法是最快的，把这样的思想称为二分法。

2.进一步思考：怎么用二分法求解f（x）的零点呢？这个零点是精确值还是近似解？

我们发现可以用判断零点所在区间的方法判断，逐步缩小零点所在区间，得到近似解，为了不无限算下去，我们规定一个精确度，只要区间长度小于精确度，那计算就可停止。

3.求解f（x）=lnx+2x-6零点的过程：

第1步：取（2，3）的中点2.5，计算得f（2.5）≈-0.084。

∵f（2.5）<0，f（3）>0，∴f（2.5）·f（3）<0∴零点在内（2.5，3）内。

第2步：取（2.5，3）的中点2.75，计算得f（2.5）≈0.512，

∵f（2.5）<0，f（2.75）<0，∴f（2.5）·f（2.75）<0∴零点在（2.5，2.75）内。

∵（2，3）？勐（2.5，3）？勐（2.5，2.75）

∴零点所在的范围越来越小，只要重复以上步骤，则零点的范围会越来越小。

（三）合作学习，探究新知

1.请2位同学试着概括二分法求近似解的定义及用二分法求函数f（x）零点近似值的步骤，在学生总结基础上，结合数形结合及师生互动共同完成二分法的精准定义。

2.给定精确度ε，用二分法求函数f（x）零点近似值的步骤如下：

（1）确定区间[a，b]，验证f（a）·f（b）<0，给定精确度ε，求区间（a，b）的中点m；

（2）计算f （m）：{1}若f（m）=0，则m为函数的零点；{2}若f（a）· f（m）<0，则令b=m（零点x0∈（a，m））；{3}若f（m）·f（b）<0，则令a=m（零点x0∈（m，b））；

（3）若a-b<ε，则零点近似值a（或b）；否则重复以上步骤。

（四）典例讲解，巩固升华

典例：用二分法求方程2x+3x=7的近似解（精确度0.1）

解：原方程2x+3x-7=0，f（x）=2x+3x-7，f（x）在R上为增函数，且f（1）·f（2）<0，则说明f（x）在（1，2）内有零点x0，取（1，2）的中点x1=1.5，计算得f（1.5）≈0.33，因为f（1）·f（1.5）<0，所以x0∈（1，1.5）；再取（1，1.5）的中点x2=1.25，计算得f（1.25）≈-0.87，因为f（1.25）·f（1.5）<0，所以x0∈（1.25，1.5）；同理得x0∈（1.375，1.5），x0∈（1.375，1.4375）。由于1.375-1.4375=0.0628<0.1，故近似解可取1.4375。

（五）课堂练习，时效检测

1.用二分法求函数f（x）=x3+x2+0.9x-1.5的零点。（精确度0.1）

2.用二分法求方程x=3-lnx的近似解。（精确度0.01）

（六）课堂小结，明确重点

1.掌握用二分法求方程的近似解的方法，并能在具体问题中加以应用；

2.体会函数与方程思想、数形结合思想、逐渐逼近思想。

（七）课后作业，巩固提升

{1}P92A组1、3 {2}同步检测课时训练A级

（八）板书设计，做好示范

课题《用二分法求方程的近似解》

1.定义：情境引入 思考 复习

2.步骤：具体问题 1. 1.零点

用于方程求解近似解 2. 2.零点存在定理

编辑 鲁翠红