例谈用直线参数方程解决一类弦长问题时的易错点

侯斐斐

摘 要：参数方程的内容，在高考全国卷Ⅱ中以选作题的形式，出现在第22题中，而直线的参数方程更是常考的考点，如果题目涉及直线的参数方程，则会考查直线参数方程中参数的几何意义，以例题展开，以纠偏的方式让学生掌握直线参数方程的应用。

关键词：直线；参数方程；弦长问题；韦达定理

运用直线的参数方程解决问题时，如果不注意参数的几何意义，就会出现错误，本文从例题（临夏中学高三年级2018—2019学年度第一学期期中考试理科卷22题）展开分析直线的参数方程，让同学们从另一个角度去认识直线参数方程在解决弦长问题中的应用，以更好地理解和掌握直线参数方程的本质.

例题：在平面直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为x=-ty=1+ t（t为参数）.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ-2 cosθ.

（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；

（2）若曲线C1与曲线C2相交于A，B两点，求AB.

解法一：（1）将曲线C1的参数方程化为普通方程为y=-1- x，即 x+y+1=0.

C2：ρ=2sinθ-2 ρcosθ，因为ρ2=x2+y2，ρ=sinθ=y，ρcosθ=x.

所以C2的極坐标方程化为直角方程为x2+2 x+y2-2y=0.

（3）由（1）可知曲线C2直角坐标方程为x2+2 x+y2-2y=0，故C2是圆心坐标为（- ，1），半径为2的圆.

因为点（- ，1）到直线 x+y+1=0的距离为d= =

所以AB=2 =2 = .

解法二：联立方程，用两点间的距离公式或弦长公式求得AB.此解法省略，因为本文中主要讨论的是直线的参数方程中参数的几何意义.

解法三（错解）：将x=-ty=-1+ t代入得x2+2 x+y2-2y=0得 （-t）2+2 （-t）+（-1+ t）2-2（-1+ t）=0，整理得4t2-6 t+3=0，

由韦达定理得t1+t2= ，t1·t2= .

所以，AB=t1-t2= = = .

解法四（正解）：由y=-1- x得tanα=- ，所以sinα= ，cosα=- ，又因为C1过（0，-1），所以C1的参数方程的标准形式为x=- -ty=-1+ t（t为参数）.

将x=- ty=-1+ t代入x2+2 x+y2-2y=0

得（- t）2+2 （- t）+（-1+ t）2-2（-1+ t）=0，

整理得t2-3 t+3=0，由韦达定理得，t1+t2=3 ，t1·t2=3.

所以，AB=t1-t2= = = .

解题回顾与反思

由（1）可知，C1表示直线，C2表示圆，而（2）求AB，即直线与圆相交的弦长问题，出现的最多的解法是解法一，也出现了少数解法三（错解）的形式，在试卷讲评中，笔者引导学生将上述解法一、解法二、解法三（错解）和解法四（正解），在课堂上逐一做了讲评，让学生对直线参数方程的认识逐渐成熟起来.

解法三（错解）是用参数解决弦长问题，看起来，过程推理严密，但是解题过程所用的参数方程不是标准形式，这里的参数没有几何意义，导致整个解题过程是错误的.

解法四（正解）是选用参数解决弦长问题，在这里先求参数方程的标准形式，让参数方程中的参数有它的几何意义，才使得整个解题过程朝一个正确的方向进行.

显然，学生在应用的时候易犯形如解法三（错解）的错误，不考虑直线的参数方程是否为标准形式，直接求解.

反思1：在文中提到的两种解法中，显然解法一更简洁，更易懂.对于圆与直线相交时的弦长问题，是学生熟知的题目，解法一也是这一类题目最常规最简单的解法.

反思2：既然解法一是学生孰知的题型，那么紧跟解法三（错解）的结果和解法一不一样时，学生就会自然而然地质疑解法三（错解），并寻找错误的原因，会自己发现直线的参数方程不是标准形式，找出错误的根本原因是将其当作标准形式直接求解，才导致错解，在寻找问题、自主纠偏后，就会顺其自然地得到解法四（正解）.这一过程不但夯实了学生的解题基础，还会防止学生在后续学习中遇到类似问题时出现类似错误.

反思3：在自主纠偏后，学生会对直线参数方程的标准形式，以及标准形式中参数的几何意义有再认知的过程，对于用直线的参数来求弦长问题有了更好的把握.

罗增儒教授说：“平时解题是一种认识活动，是对知识（概念、定理）的继续学习，是对方程的继续熟练，是在发生数学和掌握数学”，而这道题的解法四（正解）出现在这里，让学生对直线参数方程中参数的几何意义有继续学习、再认知的价值.

反思4：在解法四（正解）完成后，可以更改题目中的条件，若将题目中做改动，将圆改成椭圆或者双曲线，这时候，学生就会发现解法一是行不通的，而解法四中的参数方程的思想用在这里，思路是可以打通的，这时候解题思路就会在学生大脑中初步形成.

反思5：学生经历的解题体验更为宝贵，对于圆和直线相交的弦长问题的解决方法、一般的圆锥曲线与直线相交的弦长问题的解决方法以及直线的参数方程应用不当（非标准形式）会导致错解，这一系列的方法与问题会在学生的大脑中构成记忆存储，也会培养学生的解题经验感，以备学生在后续学习中再遇到这种题型时，迅速地做出模式识别以及解题策略以及多易错点的防范.解题主要靠经验因素（经验题感），在长期的解题时间中通过长期的积累，都能形成可借鉴作用的经验或磨石，解题经验就好像是建筑上的预制构件，遇到合适的场合，可以原封不动地把它用上模式识别.

本文以一道考题展开，先是给出最简洁的方法（解法一），后将题目中条件通过改变（将圆的方程变为椭圆或者双曲线），引导学生得出更普遍的方法，即解法二和解法三，目的是让学生更好地认识直线参数方程中参数的几何意义，更好地理解和掌握直线参数方程的本质，并能正确地应用直线的参数方程解决问题.

参考文献：

罗增儒，孟祥礼.高考数学万能解题法[M].哈尔滨工业大学出版社，2015-09.

编辑 杜元元