构造法在中小学数学中的应用

张正华

构造法是指当解决某些数学问题使用通常方法按照定向思维难以解决问题时，应根据题设条件和结论的特征、性质，从新的角度，用新的观点去观察、分析、理解对象，牢牢抓住反映问题的条件与结论之间的内在联系，运用问题的数据、外形、坐标等特征，使用题中的已知条件为原材料，运用已知数学关系式和理论为工具，在思维中构造出满足条件或结论的数学对象，从而，使原问题中隐含的关系和性质在新构造的数学对象中清晰地展现出来，并借助该数学对象方便快捷地解决数学问题的方法.

平时在教学中，让学生在课堂中感觉到数学的乐趣，数学的快乐，我们教师设计学生喜欢的问题，设计一些化繁为简的妙解.

一、鸡兔同笼的构造

《孙子算经》是中国古代重要的数学著作.成书大约在四、五世纪，也就是大约一千五百年前，作者生平和编写年不详.传本的《孙子算经》共三卷.卷上叙述算筹记数的纵横相间制度和筹算乘除法，卷中举例说明筹算分数算法和筹算开平方法.卷下第31题，可谓是后世“鸡兔同笼”题的始祖，后来传到日本，变成“鹤龟算”.书中是这样叙述的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头;从下面数，有94只脚.求笼中各有几只鸡和兔？此题被义务教育课程标准实验教科书人教版数学五年级上册选为补充教材并且在部分五～六年级的课外习题所用及义务教育课程标准实验教科书北师大版数学八年级上册“应用二元一次方程组——鸡兔同笼.”

此题可以根据学生年龄特点用不同的方法解答

（一）摆一摆、画一画（二年级学生）

此题对二年级学生来说，因为有两个未知数，解答起来很困难，所以采用画图的方法.

第一步先画35个头

第二步每个头画两只脚

剩下的24只脚可以分给12个头，每个头可以画两只脚.由此可得4只脚的是兔子，2只脚的是鸡.兔有12只，鸡有35-12=23（只）.

（二）假设法（五六年级学生）

方法一：假設全部是鸡，一共有：35×2=70只脚，但实际上有94只脚.少算了94-70=24只脚.因为每只兔少算了2只脚，因此，共有多少只兔呢？24÷2=12只.则鸡有35-12=23（只）.

方法二：假设全部是兔，一共有：35×4=140只脚，但实际上有94只脚.多算了140-94=46只脚.因为每只鸡多算了2只脚，因此，共有多少只鸡呢？46÷2=23只.则兔有35-23=12（只）.

方法三：金鸡独立.兔两个后脚着地，前脚抬起;鸡一个脚着地，一个脚抬起.则脚的数量是原来的一半94÷2=47只.现在鸡有一只脚，兔有两只脚.笼子里只要有一只兔子，则脚数比头数多1.那么脚数与头数相差47-35=12个就是兔子只数，则鸡有35-12=23（只）.

方法四：砍腿法.先砍掉每只鸡、兔的两只脚，则鸡没脚了，兔还有两只脚.脚的总数就变成94-35×2=24只.这24只脚就是砍掉兔的两只脚后的兔子的脚.兔的只数：24÷2=12只.则鸡有35-12=23（只）.

（三）一元一次方程法（七年级）

解：设鸡有x只，则兔有（35-x）只.列方程得：2x+4（35-x）=94.解得x=23，则兔35-23=12（只）.

（四）二元一次方程组法（八年级）

解：设鸡有x只，兔有y只.列方程组得x+y=35，2x+4y=94， 解得x=23，y=12.

二、等式性质的构造

等式性质：性质1等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立.若a=b那么a+c=b+c性质2等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立.若a=b那么有a·c=b·c或a÷c=b÷c（c≠0）性质3等式具有传递性：若a1=a2，a2=a3，a3=a4，…，an=an，那么a1=a2=a3=a4=…=an.

很多课堂中的一些复杂计算，列方程解应用题，动点问题等，如果构造等式的性质，会让一些问题迎刃而解.

（一）妙用参数解计算

数学化归的基本形式有化难为易、化生为熟、化繁为简、化整为零、化曲为直等等.

对较复杂的计算，如果采用构造参数的方法，会化难为易.

例2 计算：1+12+13+14×12+13+14+15-1+12+13+14+15×12+13+14.

这是两个积的差，观察算式发现.两个积的因数有一部分相同.为了简化算式，我们设12+13+14=a，12+13+14+15=b这样就得：

1+12+13+14×12+13+14+15-1+12+13+14+15×12+13+14

=（1+a）×b-（1+b）×a

=b+ab-a-ab

=b-a

=15.

（二）妙用等式解方程（组）

例3 将内径为60毫米的圆柱形长桶（已装满水）中的水向一个内径为40毫米，高为135毫米的圆柱形塑料杯倒入.当注满塑料杯时，长桶中水的高度下降多少毫米？（用方程解）

解 设长桶中水的高度下降x毫米.根据题意列方程：π×6022x=π×4022×135.有些学生还要一步步计算，这样很复杂，如果用等式性质，两边同除以π，得3600x=400×135，再两边同除以400，得9x=135，两边再同除以9，得X=15.学生说太妙了.真正激发了学生学习数学兴趣.

（三）妙用等式应用外角定理

例4 如图所示，已知∠xOy=90°，点A，B分别在射线Ox、Oy上移动，BE是∠ABy的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线相交于点C，试问∠ACB的大小是否发生变化？如果保持不变，请给出证明;如果随点A，B移动发生变化，请求出变化范围.

解 利用外角定理：∠yBA=∠AOB+∠BOA，∠4=∠C+∠1.

又∵BE是∠ABy的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线相交于点C，

∴∠3=∠4，∠1=∠2，∴2∠4=90°+2∠1，由等式性质得，∠4=45°+∠1.又∠4=∠3+∠1.由等式性质得，∠3=45°，可知保持不变.

生活中处处有数学，数学中处处有计算，计算中处处有等式性质，只要同学们能够巧妙地运用构造法的数学思想，总是能找到捷径之路，让我们的课堂更精彩.

综上所述，数学思想中的构造法在生活中处处可见，那就要我们的数学教育工作者，去捕捉尝试找到适合可以激發学生想象力的、可以培养数学思维的题目，让他们在解题过程中找到乐趣的数学题.

课前预习，让学生对即将要学的新知识有初步的认识，使得学生对数学知识的理解经历从简单到复杂、从旧到新、从巧入深、从具体到抽象的变迁过程.学生通过教师设计的数学史料导学单，不仅可以让学生带着问题去听课，提高数学课堂的教学效率，还可以发挥学生的自主学习能力，提高学生学习数学的兴趣，培养他们良好的学习习惯，同时，逐渐培养学生学会看书查阅资料，养成自主学习的良好习惯.

（三）作为课堂结束语

课堂结束语的最高境界和最终目的应该是实现教学内容的升华，通过课堂结束语对教学内容加以提炼、挖掘、整理，使得学生不仅能掌握教学内容的深刻内涵，又能理清教学过程的整体脉络.此外，作为课堂结束语，教师应该有目的的为下节课或以后要学的教学知识作为铺垫，只有引起学生对后续的学习材料产生兴趣，才能有效地激发学生的求知欲，而学生的积极思维往往都来自“疑”.因此，作为教师我们就应该好好利用这点，恰当利用数学史的知识来结束教学内容，设置疑问来激发学生兴趣.

例如，在六年级“圆的认识”的教学过程中，当学生已经理解了圆、圆的半径与直径的概念之后，教师可以谈话引入，其实在很久以前，人们就对圆进行了研究，并且发现了圆的一些规律.“比如，在春秋战国时期，有一位伟大的思想家墨子，在《墨子·经上》中，描述了他对圆的认识和研究：‘圆，一中同长也，请问同学们谁能把这句话进行解释？”[5]于是学生就会结合本节课所学的知识点，尝试着回答自己对这句话的理解.

数学史料在课堂结束语的使用，可以让学生在探索知识的奥秘中体现出一种“余音绕梁，三日不绝”的艺术魅力.把墨子对圆的解释作为小结，可以巧妙地把数学史有机的渗透在数学的教学过程中，使得数学教学更多了一种文化的厚重感.

三、小 结

将数学史渗透在小学数学的教学过程中，它方法是多种多样的.它不仅仅取决于教学内容，还取决于数学理念和历史背景等等.在实际的数学教学过程中，教师就要需要具体情况具体的分析，挖掘数学史料背后的深层知识，合理、有效的利用数学史，将它高效的渗透到小学数学的教学中.让数学史料的渗透成为小学数学的日常教学过程中，使从数学史角度出发的教学设计成为小学数学课堂的教学常态，还学生一个有魅力的、热情的数学.

【参考文献】

[1]刘开军.高等数学教学中渗透数学史的探索与实践[J].漯河职业技术学院学报，2014（5）：174-175.

[2]陈晓敏.数学史应渗透在数学教学中[J].金色年华：下，2012（7）.

[3]王娟.数学史料融入初中数学课堂的研究[D].济宁：曲阜师范大学，2012.

[4]吴绚灿.数学史料融入小学数学课堂教学的研究[D].杭州：杭州师范大学，2016.

[5]陈朝东，穆琳.数学史在我国小学数学教材中的渗透[J].现代中小学教育，2013（3）：7-10.