浅谈中学三角函数试题中的转化与化归思想

牟晓丹

【摘要】转化与化归思想是解决数学问题时最常用、最重要的思想方法之一，本文主要从有关三角函数的问题和几个常见函数模型着手进行研究，希望通过对此问题的研究熟悉转化与化归的各种变换方法，灵活解决数学问题.

【关键词】转化与化归思想;三角函数题;函数模型

转化与化归思想是数学思想的精髓，也是解决中学函数试题最常用的思想方法之一.当我们遇到较难解决的数学问题时，应该通过观察、分析、类比、联想等思维过程，运用适当的数学思想方法加以解决.运用转化与化归思想解决问题，是化未知为已知、化复杂为简单、化特殊为一般的过程.

一、转化与化归思想的含义

在做数学题时，通常会遇到一些直接解决比较困难的问题，我们可以通过观察、分析、类比、联想等一连串的思考过程.把问题进行转化，挑选适当的数学手段进行相应的变换，将原问题逐渐成为一个自己较为熟知的问题或者某一早已完成的问题，借助这个新问题进行求解，实现原问题得以处理的最终目标，这一思想方法就是“转化与化归思想”.

二、转化与化归思想的基本方法

1.典型化法：把一般性问题转化为个别典型的情况.

2.逐步逼近法：就是“退一步”，“退”到原始而不失去重要性的地方，当然，这是以“退”为“进”，“退”是为了往前进.因此，又称“退步法”.

3.变形法：包括恒等变形和非恒等变形.

4.RMI法：是关系映射的简称.

三、转化与化归思想的原则

1.简单化原则：把烦琐的问题化为容易解决的问题，通过对容易解决的问题的求解与解决，再进行分析、研究、讨论、总结，从而解决烦琐的问题提供依据和启示.

2.熟悉性原则：对一些较为抽象和一般化的数学问题，这类问题转化为我们所熟悉的知识和经验，达到解决问题的目的.

3.和谐统一性原则：转化与化归问题的已知或结论，使文字和图形二者之间的和谐统一贯穿于问题内容与过程中，其推演过程符合人们的数学思考方式和有利于某种数学方法的体现.

4.形象化原则：将抽象的问题转化为可以想象的数学问题.

5.正难则反原则：当从正面思考遇到障碍的时候，就可以先把思维转化到反面进行思考、分析，使问题得以解决.

四、三角函数题中的转化与化归

1.第一种模型：化归成y=Asin（ωx+φ）+k（或y=Acos（ωx+φ）+k）型函数

一般用其性质解决.以y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）为例，（1）定义域为R;（2）值域为[-A，A];（3）最小正周期为T=2πω;（4）y=Asin（ωx+φ）的图像为中心对称图形，也是轴对称图形，中心坐标为kπ-φω，0（k∈Z），对称轴方程为x=1ωkπ+π2-φ（k∈Z）;（5）单调递增区间为1ω2kπ-φ-π2，1ω2kπ-φ+π2（k∈Z），单调递减区间为1ωπ2-φ+2kπ，1ω3π2-φ+2kπ（k∈Z）.

2.第二种模型：化归成y=asin2x+bsinx+c（或y=acos2x+bcosx+c）型函数

形如y=asin2x+bsinx+c模型或者可转化为这种形式的函数，一般可利用转化与化归思想和配方法将这类函数式转化为我们熟悉的二次函数的相应形式，最后利用二次函数的相应性质和求最值的基本方法进行求解，使问题得以解决.

3.第三种模型：形如y=asinx+bcsinx+d或y=acosx+bccosx+d的函数模型

形如y=asinx+bcsinx+d或y=acosx+bccosx+d的函數，一般是先解出sinx或cosx，再利用|sinx|≤1和|cosx|≤1求y的取值范围.若原函数式只有sinx的一次函数式，可把sinx当作未知数进行求解，再根据正弦函数的性质|sinx|≤1，最后求出y的取值范围.

4.第四种模型：形如y=asinx+bccosx+d或y=acosx+bcsinx+d的函数模型

观察此类函数模型可知，分式中分子和分母含有的一次式cosx或sinx各不相同，不能直接解出cosx或sinx，解决这类题型熟悉掌握转化与化归思想至关重要，通常转化为f（y）=sin（ωx+φ），在利用函数的有界性求解.

5.第五种模型形如y=a（sinx±cosx）+bsinxcosx+c的函数模型

解下面的例题时一般设t=sinx±cosx，则sinxcosx=±t2-12.但应该特别注意的是t的取值范围，利用转换与化归和换元法结合，使原函数转化为二次函数求解.

五、结 论

总之，解决各种函数问题都是运用已知条件、定理等，对函数问题进行一系列的转化与化归，进而加以解决的一个探究过程.针对不同类型的问题，引导学生不断进行细致的分析，从而培养学生思考的严谨性.学生也将不断归纳提炼各种“转化与化归”方法，逐渐提升问题处理能力和活跃性.

【参考文献】

[1]李昭平.“转化与化归思想”破解数学题“十法”[J].广东教育，2014（4）：17-20.

[2]贾旭.高考函数试题中的转化与化归思想[J].数学学习与研究，2010（7）：71-77.