洞察学生思维，追求不同解法

周跃佳

【摘要】数学教学不仅要教给学生已发现的数学知识和方法，更重要的还要教给学生如何进行数学思维活动.针对2017年高考全国Ⅲ卷理科第12题，笔者通过解题教学收集了解学生原始思维，在学生思维障碍点处设问引导，得出不同解法，并提出了几点思考.

【关键词】洞察思维;解法研究;高考题

一、问题简介

2017年高考全国Ⅲ卷理科第12题：在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若AP=λAB+μAD，则λ+μ的最大值为（）.

A.3

B.22

C.5

D.2

该题综合性较高，涉及直线与圆的位置关系、向量、线性规划、参数方程等考点.考查学生对中学的基础知识、基本技能的掌握程度，对数学思想方法和数学本质的理解水平.从不同的思维角度可以得到不同的解法，该题既注重基础，又关注能力，是学生平时训练的一个良好素材，高考刚结束，笔者就将本题选为高二部分学生参与的习题课教学的例题，教师对学生的解答做出统计和分类.

二、学生的解答分析

题目下发10分钟以后，有学生提交了完整的解答，多数学生完成了一半，通过收集统计学生的解决方案，大致分为两类：

第一类，建立起平面直角坐标系之后，求出了圆C的方程，通过观察几何图形，直观分析得出了结论：当连接AC并延长交圆C于点P时，取得λ+μ的最大值，一部分学生通过直线AC方程与圆C方程的联立，算出了此时P点坐标，进而得到λ+μ的值，发现没有选项，另一部分学生正在计算的过程中.致使这类学生解题失败的原因在于通过直觉找错了λ+μ取得最大值时P点的位置.

第二类，建立起了λ+μ与圆C上的动点P的坐标x和y之间的联系，选择这个解法失败的学生，原因在于建立起了变量之间的联系之后，发现变量是x和y的二元函数，不知如何求出最大值.

三、教学过程

（一）变换视角，“柳暗花明又一村”

教师展示学生解答过程：

解法1 连接AC延长交圆C于点P，如图建立平面直角坐标系，设A（0，1），B（0，0），D（2，1），P（x，y），

求得直线AC方程为12x+y=1.①

再根据等面积公式可得圆的半径是25，

即圓的方程是（x-2）2+y2=45.②

由①②两式求得P点的坐标145，-25，

又AP=145，-75，AB=（0，-1），AD=（2，0）.

由AP=λAB+μAD得λ=μ=75，

所以此时λ+μ取得最大值145.

教师点评引导：以上解答错在哪里？为什么上面求出的点P处不是使λ+μ取最大值时的点？那最大值点在哪里呢？

师生共同研讨：如图所示，圆C与BD切于点Q，设AP交BD于点E，过点A作AM⊥BD于点M，过点P作PN⊥BD于点N.

设AP=kAE，AE=mAB+nAD，由于B，D，E三点共线，所以m+n=1，AP=kmAB+knAD，又因为AP=λAB+μAD，所以λ=km，μ=kn，λ+μ=km+kn=k（m+n）=k，即λ+μ=|AP||AE|=|AE|+|PE||AE|=1+|PE||AE|，又由于Rt△AME与Rt△PNE相似，所以|PE||AE|=|PN||AM|=|PN|25=52|PN|，λ+μ=1+52|PN|，记|PN|=d，λ+μ=1+52d，所以问题转化为求圆C上一点到直线BD的距离的最大值.显然，P点在QC延长线与圆C交点P′处时，λ+μ取最大值，即dmax=45，所以（λ+μ）max=1+52×45=3.

（二）架一个台阶，“一览众山小”

对第二类未完成的解答，教师通过平板电脑发送给每一位学生，并留5分钟一起持续思考，寻找解决方案.

解法2 学生解答展示：

如图所示，建立平面直角坐标系，设A（0，1），B（0，0），D（2，1），P（x，y），根据等面积公式可得圆的半径是25，即圆的方程是（x-2）2+y2=45，

AP=（x，y-1），AB=（0，-1），AD=（2，0），若满足AP=λAB+μAD，

即x=2μ，y-1=-λ， μ=x2，λ=1-y，

所以λ+μ=x2-y+1.

困难：含x和y两个变量，不知道如何求最值？

教师提问引导：λ和μ是随x和y变化的两个变量，能否将λ+μ看成一个变量呢？

学生令z=λ+μ，得z=x2-y+1.

思路1 z=x2-y+1，即x2-y+1-z=0，点P（x，y）在圆（x-2）2+y2=45上，所以圆心到直线的距离d≤r，即|2-z|14+1≤25，解得1≤z≤3，所以z的最大值是3，即λ+μ的最大值是3.

思路2 化x2-y+1-z=0为y=12x+1-z，于是1-z为该直线的纵截距，当直线纵截距取得最小值时，z取得最大值，即将直线y=12x向下平移至与圆相切时取得最大值，算得此时的z=3.

教师点评并引导：以上方法是建立起了λ+μ与P点坐标x和y之间的联系而得到的，λ+μ随P点坐标x和y的变化而变化，由于λ+μ=f（x，y）是二元函数，不会求最值，从而考虑将λ+μ看成一个变量，利用直线与圆的位置关系或线性规划的方法解决.

（三）二元变一元，“随风潜入夜”

教师提问引导：x和y为什么在变化？随什么量在变化？能否将x和y与某个量建立起联系，转化为一元函数呢？（学生思考片刻）

学生回答：圆上的点的坐标x和y随其旋转角θ在变化，所以可以将x和y与θ建立起联系，也就需要先写出圆的参数方程.（留5分钟给学生解答）

教师展示学生解答：

解法3 以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，设P（x，y），

则由题意，得x=λ，y=2μ，

圆C的圆心坐标为C（1，2），半径为25，

所以圆C的参数方程为x=1+25cosθ，y=2+25sinθ （θ为参数），于是λ+μ=x+12y=1+25cosθ+122+25sinθ=2+sin（θ+φ），其中sinφ=25，cosφ=15.

当θ+φ=π2时，sin（θ+φ）=1，λ+μ取得最大值3，此时cosθ=sinφ=25，sinθ=cosφ=15， P95，125.

教师点评：λ+μ随圆上动点P的坐标x和y变化，而x和y又随圆的旋转角θ变化，建立起x和y与θ的关系，就将问题转化为一元变量问题了.但不同的建系方式，得到圆的参数方程不同，解答过程也就不同，但结果相同，剩下的课堂时间交给学生，按照之前自己建立的平面直角坐标系，繼续解决.

四、解题教学的几点思考

笔者通过这道高考题的教学，感受颇深，有几点思考与同行共勉：

1.解题教学需要收集了解学生原始思维，在学生思维障碍点处设问.教师对学生的想法越了解，就越能触及学生的需求点，给予适当的帮助.所以教师一定要重视学情分析，首先应该给学生足够的时间去思考，才能获得准确的信息，然后花一定的时间去分析学生解决问题的情况，针对学生解决的情况设计思维链引导纠正并完善解法.

2.解题教学要引导学生多角度思考.洞察学生思维，追求不同的解法.不同的学生会有不同的思考方式，当学生思维达到“愤悱”状态而得不到及时帮助时，容易被“参考答案”所“同化”而“顺应”，失去了思维锻炼的大好时机，所以教师应该尊重学生的思维，在学生认识水平下，陪伴学生挖掘出不同的解法，培养学生分析问题、解决问题的能力.

3.解题教学中选择的题目要少而精.既要覆盖高中阶段的重要知识，又要能够考查学生对数学思想方法的掌握程度.本节课只讲了一道高考题，但从不同的角度将数学化归转化的思想方法渗透在对数学知识的考查中，解法1通过向量共线的过渡将λ+μ的最大值转化为圆上一点到直线的距离的最大值;解法2通过将λ+μ看成一个变量z，将问题转化为线性规划问题;解法3通过参数方程，将二元问题转化为一元问题.在知识的运用中将知识得到巩固，在问题的转化中实现思维的提升.

【参考文献】

[1]黎栋材.一堂活动课带来的惊喜[J].数学通报，2016（2）：51-53.

[2]赵加营，谢桂香.平常问题“非常”思考[J].中学数学教学参考，2016（5）：14-17.