乘法公式与因式分解那些事

陈晓靓

在如今的数学课本中，乘法公式与因式分解的表达形式是非常简洁美观的，这种呈现形式得益于数学符号的引入。而在引入数学符号之前，历史上伟大的数学家们就已经发现了一些乘法规律。下面，我们就来说说历史上与乘法公式、因式分解相关的人与事。

数学轶事1：不懂几何者勿入

这句话是刻在希腊数学家欧几里得（公元前330年—公元前275年）在少年时期就读学园的大门牌匾上的。这所学园的创立者是大名鼎鼎的柏拉图（公元前427年—公元前347年）。他在大门上立这块牌匾的目的是让世人知道数学的重要性，更要能体会美妙的几何世界。在柏拉图数学思想的熏陶下，欧几里得开始了对几何原理的系统研究。他敏锐地察觉到数学公理化理论的发展趋势。在随后的岁月里，欧几里得到处游学，收集和研究前辈大师们的专著与理论，最终，在公元前300年完成了那部伟大的《几何原本》。同学们可能不知道，乘法公式并不是来源于代数学，准确地说应该源于几何学。在这本注重数形结合的著作中，欧几里得给出了乘法公式的两个例题。

（1）两数和的平方公式：若任意两分一条线段，则在整条线段上的正方形的面积等于各个小段上的正方形的面积之和加上由两小线段构成的长方形面积的2倍。

如图1所示，S正方形ABCD=S正方形BHEI+S正方形EFDG+2S长方形AIEF。

即完全平方公式：（a+b）2=a2+b2+2ab

（2）如果把一條线段先分成两条相等的线段，再分成两条不相等的线段，那么，不相等的两条线段构成的长方形与两个分点之间的距离形成的正方形的面积和，等于原线段一半上的正方形的面积。

如图2所示，S正方形CEFB=S正方形LEON+S长方形AKND

即平方差公式：a2=（a+b）（a-b）+b2，即（a+b）（a-b）=a2-b2

可见，伟大的数学家欧几里得用美妙的几何证明法呈现了如今的乘法公式。

数学轶事2：英雄所见略同

在小学里，我们曾经听老师讲过大数学家欧拉（公元1707年—公元1783年）小时候围羊圈的故事，从这个故事中得知，周长相同的不同长方形，其面积是不同的，其中正方形的面积最大。你知道为什么吗？具体来说，设正方形的边长为a，周长为4a，面积为a2。将正方形的一边增加b，将其邻边减少b（0≤b

无独有偶，在公元3世纪，古希腊数学家丢番图（公元246年—公元330年）在其《算术》一书中设置了以下问题：已知两数的和为20，乘积为96，求这两个数。丢番图给出了这样的解答：两个数不能同时大于10，也不能同时小于10，必定一个大于10、一个小于10。如图3所示，可设一个数为10+x，另一个数为10-x，得（10+x）（10-x）=96。

在解决上述问题时，两位跨越时代的数学家不约而同地都应用到了平方差公式，可见乘法公式在数学历史长河中的重要地位。

数学轶事3：莱布尼兹的错误

莱布尼兹（公元1646年—公元1716年）是德国的一位伟大数学家，他是微积分理论的创立者之一。他所处的那个时代，因式分解已经非常成熟。在一次偶然的因式分解演算中，他发现：

若n是自然数，n3-n=n（n+1）（n-1）是3的倍数;

n5-n=n（n2+1）（n2-1）=n（n+1）（n-1）（n2+1）是5的倍数;

n7-n=n（n3+1）（n3-1）=n（n+1）（n-1）（n2+n+1）（n2-n+1）是7的倍数。

这一系列的演算结论让莱布尼兹喜出望外，于是他迫不及待地对外宣布：对任意的正奇数k，nk-n恒是k的倍数。

同学们，你是否怀疑这个结论的正确性？果不其然，没过多久就有人找到了反例：29-2=512-2=510。显然，510不是9的倍数，轻而易举地推翻了莱布尼兹的这个结论。可见，数学是非常严谨的，数学权威们有些时候也会犯科学性的错误。同学们，我们都应时刻保持质疑的精神。

人类的进化史就是数学的发展史，数学推动了历史的前进，改变了人类思考与解决问题的方式。万物变，唯数学永恒。

（作者单位：江苏省无锡市梅里中学）