关于累积法测量结果中有效数字的保留问题

张灿灵

摘   要：关于累积法测量结果中有效数字的保留问题一直存在争议，以至于考试很难定夺答案，无法给分。本文从几个方面提出了对该问题的看法。笔者认为，使用累积法就是为了提高精度，累积法的测量结果应该更为准确，至少保证测量结果是准确、有效的，测量结果里的有效数字位数只能增加或不变，一定不能减少，只有这样才能降低测量结果的不确定度。

关键词：累积法;有效数字;不确定度

中图分类号：G633.7 文献标识码：A     文章编号：1003-6148（2019）3-0007-2

问题的提出：

在学习八年级物理第二章测量内容时，总会碰到类似的题目：（例）李阳同学为了测某一品牌导线的直径，他采用了以下的办法，剪下一段导线后，把这段导线在一支铅笔上紧密地缠绕单层的40圈，形成一个导线圈，再用一把刻度尺去测量这个导线圈的长度，测量情况如图1所示，则这把刻度尺的分度值是______mm，这个导线圈的长度是______cm，这一品牌导线的直径是______mm。

关于此题的解答：首先，刻度尺的分度值是1 mm（或0.1 cm），导线圈的长度是2.35 cm（大约）。可是，关于第三个空许多物理老师都有争议，各执一词，以至于考试没法定夺答案，无法给分。

有的老师认为，导线的直径d=2.35 cm/40=0.05875 cm≈0.6 mm，结果应该与分度值严格保持一致，必须取0.6 mm才对。

还有老师认为，除下来的结果恰好是0.05875 cm，那就应该保留下来准确的结果，这也恰恰是累积法测量长度的初衷：提高准确度，以减小误差。因此，结果就应该是0.5875 mm。

关于这个问题，笔者认为使用累积法就是为了提高精度，累积法应至少保证测量结果是准确、有效的，测量得到的结果里的有效数字位数只能增加或不变，一定不能减少，只有这样才能降低测量结果的不确定度。下面分别从以下几个方面来阐述笔者对这个问题的看法。

1    使用累积法就是为了提高精确度

累积法是物理学中常用的科学研究方法之一。累积法一般用于测量某些用常规仪器很难直接准确测量的物理量，方法是将小量变大量。比如，测量一张纸的厚度、测量一粒米的质量、测量细铜丝的直径等都需要使用这种方法。由于待测物体量太小，若直接测量，结果可能会导致误差太大，或者测不出，甚至得到一个错误的结果。这时就可以使用累积法。

让我们再来看一个例题：

为了测量1张临摹纸的厚度，小刚数出了300张相同的纸，压齐后，用毫米刻度尺测出300张纸的厚度为1.00 cm，则1张纸的厚度应为（       ）cm。

如上，如果我们严格遵守毫米刻度尺分度值的要求，那么1.00 cm/300≈0.0033 cm，结果应该记作：0.00 cm。也就是说测量结果说明这张临摹纸没有厚度，这显然是不可能的。0.00 cm的测量结果只能说明此次测量是失败的。然而，失败的原因不是测量，而是结果的保留。

2    累积法的测量结果应该更为准确，至少保证测量结果是准确、有效的

这道例题中，结果至少应该保留到0.003 cm才有意义（纸必须有厚度）。显然，这已经超出毫米刻度尺分度值的范围了。也就是说，累积法的测量结果有时候必须要比测量工具的精确度更加精确才能使结果具有意义。在类似的题目中，累积法的测量结果已经远超测量精度的要求，再保持测量工具的分度值也就没有意义了。可以理解为，测量精度一般是针对直接测量而言的——比如直接读取的总长度，必须符合分度值的要求。对于累积法的间接测量结果（如求一张纸的厚度需要计算，视为间接）可以不必与测量工具的精度保持一致。

3    使用累积法测量得到的结果里的有效数字位数只能增加或不变，一定不能减少

累积法测量其实体现了一种放大的思想。由于原待测物体过于微小不易测量，把它们累积转换成一个可观的、放大的量再进行测量。直接的测量结果一定要遵守测量工具的精度要求。间接的测量结果则要根据事实进行与原测量精度相当或者是更为精确地保留。就拿开篇的那个例题来说，导线的直径至少记作0.6 mm或0.59 mm或0.588 mm，当然最好是0.5875 mm，因为此数据恰是一个整除的结果，没有比这个更加准确的结果了。

4    测量结果的有效位数由不确定度决定，不确定度越小结果越精确

所谓测量就是把待测物体的某个物理量与相对应的标准量作定量比较。测量的最终结果应该包括数值、单位和结果的可信赖程度。结果的可信赖程度，我们用不确定度来表示。不确定度反映了由于测量中不可避免的各种误差的存在而导致测量结果不能肯定的程度[1]。不确定度是对被测量真值不能肯定的误差范围的一种评定，与误差是有区别的。误差是测量值与真实值的差距，通常分为系统误差和偶然误差，误差是客观存在的。然而大多数情况下，真实值是无法知道的，比如一支铅笔的长度到底是多少？我们无从得知。每一次的测量都有误差，多次测量取平均值也只能减小误差，误差还是不能避免的。真实值无法确定，准确的误差更加无法知道。测量误差表明了测量结果偏离真实值的程度。不确定度表明了被测量值的分散性，是测量误差量值分散性的指标。测量结果应该带有这样的一个指标：表征测量结果的可能分散情况。不确定度越小，测量结果的可信赖程度越高，反之，测量结果的可信赖程度越低[2]。一般情况下，不确定度通常取两位有效数字，对于重要的、要求比较精确的测量常将测量结果的不确定度多保留一位[3]。测量结果的有效位数由不确定度来决定，测量结果的最后一位要与不确定度的最后一位一致[4]。例如，测量某一物体的质量，初步的测量结果为m=100.2244526 g，根据规定计算出的不确定度为u=0.256 mg，如果不确定度保留两位有效数字则记为u=0.26 mg。修约间隔为0.01 mg，测量结果应该记为：m=100.22445 g。

用累积放大法来测量时，由于多次测量减小了测量误差，提高了测量结果的不确定度，测量不确定度位数相应的要增加。例如，利用劈尖干涉原理测微小厚度的实验中，仪器的精确度u=0.01 mm，而根据规定求出的测量结果不确定度为0.00005 mm，如果把不确定度记为0.00是错误的，而应该记为0.00005 mm[5]。

总之，累积法测量结果中有效数字的保留问题，不能只考虑仪器本身的精确度。累积法本质就在于可以测量出某些用常规仪器很难直接准确测量的物理量，提高测量的精确度，减小测量误差，减小测量结果的不确定度，提高测量结果的可信赖程度。所以，测量结果有效数字位数只能增加或不变，一定不能减少。

参考文献：

[1]吴泳华，霍剑青，熊永红.大学物理实验[M].北京：高等教育出版社，2001：152.

[2]王承忠.测量不确定度原理及在理化检验中的应用[J].理化检验-物理分册，2003，39（7）：382-386.

[3]朱莉.大學物理实验[M].长春：吉林人民出版社，2003.

[4]张颖.大学物理实验中测量结果及不确定度的有效位数[J].长春大学学报，2007，17（4）：24-25.

[5]张颖.大学物理实验中测量结果及不确定度的有效位数[J].长春大学学报，2007，17（4）：24-25.

（栏目编辑    赵保钢）