与全等有关的辅助线构造技巧

余中华

若题设中有某边的中点或中线，可将中线延长一倍，连得全等三角形;或过中点作该边的垂线，与另一边相交，利用垂直平分线的性质。过三角形一边的两端，分别向该边的中线（或中线的延长线）作垂线，可得全等的直角三角形以及更多条件。

若题设中有角平分线，可考虑：

（1）过平分线上任一点向角的两边作垂线，构造两个全等的直角三角形。

（2）过平分线上任一点作角的一边的平行线，与另一边相交，得等腰三角形。

（3）过此角对边的两端，分别向角平分线作垂线，或作角平分线的平行线，均可创造更多条件。

一、截长补短证“a+b=c”型结论

欲证两条线段的和或差等于第三条线段，可用“截长补短”法，即“大量截余，小量补齐”，构造全等三角形，再进行等量代换。

例1 如图1，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD。求证：BC=AB+CD。

【解析】证明“BC=AB+CD”有两种思路。思路一：（截长法）将BC分成两部分，一部分等于AB，一部分等于CD。思路二：（补短法）将AB或CD补长，使这条线段等于AB+CD，然后证明这条线段等于BC。

证明：（截长法）如图1，在BC上取一点F，使得BF=AB，连接EF。

∵BE平分∠ABC，∴∠1=∠2。

在△ABE和△FBE中：[AB=BF，∠1=∠2，BE=BE，]

∴△ABE≌△FBE（SAS），

∴∠A=∠5。

∵AB∥CD，

∴∠A+∠D=180°。

∵∠5+∠6=180°，

∴∠6=∠D。

∵CE平分∠BCD，

∴∠3=∠4。

∴在△CED和△CEF中：[∠6=∠D，∠3=∠4，CE=CE，]

∴△CED≌△CEF（AAS），

∴FC=CD。

∵BC=BF+FC，

∴BC=AB+CD。

（补短法）如图2，延长BA，交CE的延长线于点F。

∵AB∥CD，

∴∠ABC+∠BCD=180°，∠4=∠F。

∵BE平分∠ABC，

∴∠1=∠2。

∵CE平分∠BCD，

∴∠3=∠4，

∴∠3=∠F。

在△BEF和△BEC中：

[∠3=∠F，BE=BE，∠1=∠2，]

∴△BEF≌△BEC（AAS），

∴BF=BC，EF=EC。

在△DEC和△AEF中：

[∠4=∠F，EF=EC，∠CED=∠AEF，]

∴△AEF≌△DEC（ASA），

∴AF=CD，∴BC=AB+CD。

【点评】“截长补短”法适合解决形如“a=b+c”型题目。本题也可延长BE，使之交CD延长线于点F，从而达到“补短”的目的。

二、与中点有关的辅助线添加技巧

1.倍长中线。

例2 如图3，已知△ABC中，AD是中线，AE是△ABD的中线，BA=BD。求证：AC=2AE。

【解析】本题要证明AC=2AE，可将中线AE加倍延长，得到线段AF，将要证明的结论转化为证明AF=AC，最后利用“SAS”证明△ADF≌△ADC即可。

证明：延长AE到点F，使得EF=AE，连接DF。

∵AE是△ABD的中线，

∴BE=DE，

∴△ABE≌△FDE（SAS），

∴DF=AB，∠FDE=∠B。

∵AD是△ABC的中线，

∴BD=DC。

∵BA=BD，

∴DF=DC，∠BAD=∠BDA。

∵∠ADC=∠B+∠BAD，

∠ADF=∠BDA+∠FDE，

∴∠ADC=∠ADF，

∴△ADF≌△ADC，∴AF=AC。

∵AF=2AE，∴AC=2AE。

【點评】本题也可以连接BF，先证明△ADE

≌△FBE，然后证明△FBA≌△ADC。本题将AE加倍延长的好处：如果连接DF，则可得△ABE≌△FDE;如果连接BF，则可证明△ADE

≌△FBE。由全等三角形我们能得出一些相等的线段和相等的角，从而为问题的最终解决创造条件。

2.如果没有中线，可以构造中线，然后加倍延长。

例3 （1）如图4，△ABC中，BD=CD，∠1=∠2，求证：AB=AC。

（2）如图5，BD=CD，∠1=∠2，此时EB=AC成立吗？请说明你的理由。

【解析】（1）△ABD和△ACD虽然有公共边AD，有∠1=∠2，还有BD=CD，但这3个条件并不能证明两个三角形全等，所以可以考虑“倍长中线”解决问题。（2）如图6，延长ED至M，使得DM=DE，连接CM。或者如图7，延长AD至P，使DP=AD，连接BP。

证明：（1）（方法一，利用角平分线的性质）过点D作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H，由角平分线定理可得DG=DH，再由“HL”证得△BDG≌△CDH，得∠B=∠C，∴AB=AC。

（方法二，利用倍长中线）延长AD至E，使DE=AD，连接BE或CE均可，用“SAS”证三角形全等。

证得AC=BE，∠2=∠E。

又∵∠1=∠2，∴∠1=∠E，

∴AB=BE，∴AB=AC。

（2）（方法一）如图6，将ED看作△EBC的中线，延长ED至M，连接CM。

易证△BDE≌△CDM。

∴BE=CM，∠1=∠M，

由于∠1=∠2，

∴∠2=∠M，∴CM=AC，∴EB=AC。

（方法二）如图7，将AD看作△ABC的中线，延长AD至P，使DP=AD，连接BP。

易证△ACD≌△PBD。

∴AC=BP，∠2=∠P，由于∠1=∠2，

∴∠1=∠P，∴BE=BP，∴EB=AC。

【点评】图5中虽然没有三角形的中线，但由于点D是BC的中点，ED可看作△BCE的中线，AD可看作△ABC的中线，因此我们仍然可以通过“倍长中线”的办法来构造全等三角形。

3.中点+平行=全等三角形。

例4 如图8，△ABC中，AB=AC，E为AB上一点，F为AC延长线上一点，且BE=CF，EF交BC于D，求證：DE=DF。

【解析】若证DE=DF，则联想到D是EF的中点，中点的两旁容易构造全等三角形。方法是过两端点E或F作平行线，构造基本图形“X型”，只需证两个三角形全等即可。

证明：作EG∥AC交BC于G。

∴∠1=∠ACB，∠2=∠F。

又∵AB=AC，∴∠B=∠ACB。

∴∠1=∠B，∴BE=GE。

∵BE=CF，∴GE=CF。

在△EDG和△FDC中：

[GE=CF，∠2=∠F，∠EDG=∠FDC，]

∴△EDG≌△FDC。∴DE=DF。

【点评】本题作辅助线的方法有多种，都是由中点构造基本图形“X型”来解决问题的。如图9所示，过F点作FH∥AB，交BC的延长线于H，得到△BDE≌△HDF;或如图10，分别过E、F两点，作BC的垂线，垂足分别为M、N，得到Rt△DEM≌Rt△DFN。

三、截去一部分，或者补上一部分，构造全等三角形

例5 如图11，在△ABC中，∠DBC=∠ECB

=[12]∠A，求证：BE=CD。

【解析】要证明BE=CD，一般考虑证明两个三角形全等，而△DCF和△EBF显然不全等。然而由∠DBC=∠ECB，可得FB=FC，还有对顶角∠BFE=∠CFG，这里具备一些全等三角形的要素，可考虑将大三角形△CDF截去一角，构造一个与△BEF全等的三角形。

证明：在FD上取FG=EF，设∠DBC=∠ECB

=x°，∠FBE=y°，

则∠A=2x°，∠EFB=∠GFC=∠DBC+∠ECB=2x°。

在△BFE和△CFG中：

[FB=FC，∠BFE=∠CFG，EF=FG，]

∴△BFE≌△CFG（SAS）。

∴BE=CG，∠FCG=∠FBE=y°。

∵∠GDC=∠A+∠ABD=（2x+y）°，∠DGC=∠GFC+∠FCG=（2x+y）°。

∴∠GDC=∠DGC。

∴CG=CD，

∴BE=CD。

【点评】本题较难，难在辅助线的作法上，考虑辅助线作法时，需要从对称的角度来构造全等三角形。本题也可以把小三角形△BEF补上一块，构造一个与△FCD全等的三角形，即延长FE到点P，使得FP=FD，则可以证明△BFP≌△CFD。

（作者单位：江苏省海安市墩头镇仇湖初级中学）