一次函数应用中的数学建模

2019-05-05万广磊

初中生世界·九年级 2019年4期

关键词：运往铁块表达式

万广磊

一、运动问题

例1 （2018·江苏盐城）学校与图书馆在同一条笔直道路上，甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，乙先到达目的地。两人之间的距离y（米）与时间t（分钟）之间的函数关系如图所示。

（1）根据图像信息，当t= 分钟时甲、乙两人相遇，甲的速度为米/分钟。

（2）求出线段AB所表示的函数表达式。

【解析】（1）根据图像信息，y=0时，表示甲、乙两人相遇，此时t=24。由图像，知甲用60分钟步行2400米，因此，用每分钟步行40米。

（2）当t=24时，甲、乙两人相遇，可得甲、乙两人的速度和为2400÷24=100（米/分钟）。已求甲的速度，可得出乙的速度。再求出乙从图书馆回学校的总时间即A点的横坐标，用A点的横坐标乘甲的速度得出A点的纵坐标，再利用待定系数法可求出线段AB所表示的函数表达式。

解：（1）24，40。

（2）根据题意，当t=24时，甲、乙两人的速度和为2400÷24=100（米/分钟），∵甲的速度为40米/分鐘，∴乙的速度为60米/分钟。乙从图书馆回学校的时间为2400÷60=40（分钟），∴甲步行的总路程为40×40=1600（米），则A点的坐标为（40，1600）。设线段AB所表示的函数表达式为y=kx+b，得[40k+b=1600，60k+b=2400，]解得[k=40，b=0，]∴线段AB所表示的函数表达式为y=40x。

【点评】在解决第二问时，要确定点A的坐标，其表示的意义就是乙到达学校时甲走完的总路程，可以利用行程问题的示意图分析甲、乙运动的时间与对应的路程。

二、销售问题

例2 （2018·江苏无锡）一水果店是A酒店某种水果的唯一供货商，水果店根据该酒店以往每月的需求情况，本月初专门为他们准备了2600kg的这种水果。已知水果店每售出1kg该水果可获利润10元，未售出的部分每1kg将亏损6元，以x（单位：kg，2000≤x≤3000）表示A酒店本月对这种水果的需求量，y（元）表示水果店销售这批水果所获得的利润。

（1）求y关于x的函数表达式。

（2）当A酒店本月对这种水果需求多少时，该水果店销售这批水果所获的利润不少于22000元？

【解析】（1）分两种情况讨论：一是未能全部售出（即2000≤x≤2600），要注意用获得的利润减去未出售的亏损部分;二是全部售出（即2600

（2）利用利润不少于22000元，可以列不等式求出实际问题的解。

解：（1）由题意，分两种情况讨论如下：当2000≤x≤2600时，y=10x-6（2600-x）=16x-15600;当2600

（2）由题意得：16x-15600≥22000，解得：x≥2350，∴当A酒店本月对这种水果的需求量x满足2350≤x≤3000时，该水果店销售这批水果所获的利润不少于22000元。

【点评】本题在所给的2000≤x≤3000条件下，依然需要对x的取值进行分类讨论，分为2000≤x≤2600与2600

三、调配问题

例3 （2018·湖北黄石）某年5月，我国南方某省A、B两市遭受严重洪涝灾害，1.5万人被迫转移，邻近县市C、D获知A、B两市分别急需救灾物资200吨和300吨的消息后，决定调运物资支援灾区。已知C市有救灾物资240吨，D市有救灾物资260吨，现将这些救灾物资全部调往A、B两市。已知从C市运往A、B两市的费用分别为每吨20元和25元，从D市运往A、B两市的费用分别为每吨15元和30元，设从D市运往B市的救灾物资为x吨。

（1）请填写下表：

[ A（吨） B（吨）合计（吨） C 240 D x 260 合计（吨） 200 300 500 ]

（2）设C、D两市的总运费为w元，求w与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。

（3）经过抢修，从D市到B市的路况得到了改善，缩短了运输时间，运费每吨减少m元（m>0），其余路线运费不变。若C、D两市的总运费的最小值不小于10320元，求m的取值范围。

【解析】（1）由题意，D市运往B市x吨，则D市运往A市（260-x）吨，C市运往B市（300-x）吨，C市运往A市200-（260-x）=（x-60）吨。

（2）由题意，w是4条线路的费用总和，可得w与x的函数关系式，并写出x的取值范围;

（3）根据一次函数的增减性，进行分类讨论。

解：（1）C运往A市：x-60;C运往B市：300-x;D运往A市：260-x。

（2）由题意得，w=20（x-60）+25（300-x）+15（260-x）+30x=10x+10200，∴w=10x+10200（60≤x≤260）。

（3）由题意得，w=10x+10200-mx=（10-m）x+10200。

当010时，x=260时，w取得最小值，此时，w=（10-m）×260+10200≥10320，解得m≤[12413]。

∵[12413]<10，∴m>10不符合题意。

综上讨论，m的取值范围是0

【点评】本题在解答第三问时，需要根据一次函数w=（10-m）x+10200的增减性，对（10-m）的值是否大于0和是否小于0分别进行讨论。

四、方案问题

例5 （2018·江苏连云港）某村在推进美丽乡村活动中，决定建设幸福广场，计划铺设相同大小规格的红色和蓝色地砖。经过调査，获取信息如下：

[ 购买数量低于5000块购买数量不低于5000块红色地砖原价销售以八折销售蓝色地砖原价销售以九折销售 ]

如果购买红色地砖4000块，蓝色地砖6000块，需付款86000元;如果购买红色地砖10000块，蓝色地砖3500块，需付款99000元。

（1）红色地砖与蓝色地砖的单价各多少元？

（2）经过测算，需要购置地砖12000块，其中蓝色地砖的数量不少于红色地砖的一半，并且不超过6000块，如何购买付款最少？请说明理由。

【解析】（1）根据题意，结合表格中数据，分别列出方程，得出答案。

（2）利用已知，得出x的取值范围，再利用一次函数的增减性得出答案。

解：（1）设红色地砖每块a元，蓝色地砖每块b元，由题意，得：

[4000a+6000b×0.9=86000，10000a×0.8+3500b=99000，]

解得：[a=8，b=10。]

答：每块红色地砖8元，每块蓝色地砖10元。

（2）设购置蓝色地砖x块，则购置红色地砖（12000-x）块，所需的总费用为y元，由题意可得：x≥[12]（12000-x），解得：x≥4000。

又∵x≤6000，

∴蓝砖块数x的取值范围：4000≤x≤6000。

当4000≤x<5000时，y=10x+8×0.8（12000

-x）=76800+3.6x，∴x=4000时，y有最小值91200。

当5000≤x≤6000时，y=0.9×10x+8×0.8（12000-x）=2.6x+76800，∴x=5000时，y有最小值89800。

∵89800<91200，

∴购买蓝色地砖5000块，红色地砖7000块，费用最少，最少费用为89800元。

【点评】本题在解答第二问时，需要根据一次函数的增减性，分别进行讨论，分为4000≤x<5000与5000≤x≤6000两种情况。

五、学科交叉

例6 （2018·浙江绍兴）实验室里有一个水平放置的长方体容器，从内部量得它的高是15cm，底面的长是30cm，宽是20cm，容器内的水深为xcm。现往容器内放入如图的长方体实心铁块（铁块一面平放在容器底面），过顶点A的三条棱的长分别10cm，10cm，ycm（y≤15），当铁块的顶部高出水面2cm时，x，y满足的关系式是。

【解析】分两种情况讨论，看长方体实心铁块的哪个面平放在长方体的容器底面，利用“实心铁块浸在水中的体积等于容器中水位增加后的体积减去原来水的体积”建立方程，求解即可。

解：当长方体实心铁块的棱长为10cm和ycm的那一面平放在长方体的容器底面时，铁块浸在水中的高度为8cm，此时，水位上升了（8-x）cm（x<8），铁块浸在水中的体积为10×8×y=80y。

∴80y=30×20×（8-x），

∴y=[120-15x2]，

∵y≤15，∴x≥6，

即：y=[120-15x2]（6≤x<8）。

當长方体实心铁块的棱长为10cm和10cm的那一面平放在长方体的容器底面时，同理得，y=[6x+105]（0

综上，y=[6x+105]（0

（6≤x<8）。

【点评】本题的等量关系是：长方体实心铁块排开水的体积等于长方体容器上升的水的体积，由此等量关系写出函数表达式。

六、油箱问题

例7 （2018·上海）一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）之间是一次函数关系，其部分图像如图所示。