一次函数应用中的数学建模

2019-05-05万广磊

初中生世界 2019年15期

万广磊

一次函数是刻画变量之间关系的数学模型，很多中考试题关注应用一次函数解决实际问题。这类问题都是通过观察、分析、概括、建模，将实际问题转化为数学问题，综合运用方程、不等式（组）、函数等知识，借助数形结合、分类讨论、转化等数学思想解决。下面以几道典型的中考试题为例进行剖析。

一、运动问题

例1 （2018·江苏盐城）学校与图书馆在同一条笔直道路上，甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，乙先到达目的地。两人之间的距离y（米）与时间t（分钟）之间的函数关系如图所示。

（1）根据图像信息，当t=______分钟时甲、乙两人相遇，甲的速度为_____米/分钟。

（2）求出线段AB所表示的函数表达式。

【解析】（1）根据图像信息，y=0时，表示甲、乙两人相遇，此时t=24。由图像，知甲用60分钟步行2400米，因此，用每分钟步行40米。

（2）当t=24时，甲、乙两人相遇，可得甲、乙两人的速度和为2400÷24=100（米/分钟）。已求甲的速度，可得出乙的速度。再求出乙从图书馆回学校的总时间即A点的横坐标，用A点的横坐标乘甲的速度得出A点的纵坐标，再利用待定系数法可求出线段AB所表示的函数表达式。

解：（1）24，40。

（2）根据题意，当t=24时，甲、乙两人的速度和为2400÷24=100（米/分钟），∵甲的速度为40米/分钟，∴乙的速度为60米/分钟。乙从图书馆回学校的时间为2400÷60=40（分钟），∴甲步行的总路程为40×40=1600（米），则A点的坐标为（40，1600）。设线段AB所表示的函数表达式为y=kx+b，得解得，∴线段AB所表示的函数表达式为y=40x。

【点评】在解决第二问时，要确定点A的坐标，其表示的意义就是乙到达学校时甲走完的总路程，可以利用行程问题的示意图分析甲、乙运动的时间与对应的路程。

二、销售问题

例2 （2018·江苏无锡）一水果店是A酒店某种水果的唯一供货商，水果店根据该酒店以往每月的需求情况，本月初专门为他们准备了2600kg的这种水果。已知水果店每售出1kg该水果可获利润10元，未售出的部分每1kg将亏损6元，以x（单位：kg，2000≤x≤3000）表示A酒店本月对这种水果的需求量，y（元）表示水果店销售这批水果所获得的利润。

（1）求y关于x的函数表达式。

（2）当A酒店本月对这种水果需求多少时，该水果店销售这批水果所获的利润不少于22000元？

【解析】（1）分两种情况讨论：一是未能全部售出（即2000≤x≤2600），要注意用获得的利润减去未出售的亏损部分；二是全部售出（即2600＜x≤3000），直接列出函数表达式。

（2）利用利润不少于22000元，可以列不等式求出实际问题的解。

解：（1）由题意，分两种情况讨论如下：当 2000≤x≤2600时，y=10x-6（2600-x）=16x-15600；当 2600＜x≤3000时，y=2600×10=26000。

（2）由题意得：16x-15600≥22000，解得：x≥2350，∴当A酒店本月对这种水果的需求量x满足2350≤x≤3000时，该水果店销售这批水果所获的利润不少于22000元。

【点评】本题在所给的2000≤x≤3000条件下，依然需要对x的取值进行分类讨论，分为2000≤x≤2600与2600＜x≤3000两种情况。

三、调配问题

例3 （2018·湖北黄石）某年5月，我国南方某省A、B两市遭受严重洪涝灾害，1.5万人被迫转移，邻近县市C、D获知A、B两市分别急需救灾物资200吨和300吨的消息后，决定调运物资支援灾区。已知C市有救灾物资240吨，D市有救灾物资260吨，现将这些救灾物资全部调往A、B两市。已知从C市运往A、B两市的费用分别为每吨20元和25元，从D市运往A、B两市的费用分别为每吨15元和30元，设从D市运往B市的救灾物资为x吨。

（1）请填写下表：

_____________________________________C D_合计（吨______）_______________________A（吨）200_______B（吨）___x 300_______合计（吨）240___260___500___

（2）设C、D两市的总运费为w元，求w与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。

（3）经过抢修，从D市到B市的路况得到了改善，缩短了运输时间，运费每吨减少m元（m＞0），其余路线运费不变。若C、D两市的总运费的最小值不小于10320元，求m的取值范围。

【解析】（1）由题意，D市运往B市x吨，则D市运往A市（260-x）吨，C市运往B市（300-x）吨，C市运往A市200-（260-x）=（x-60）吨。

（2）由题意，w是4条线路的费用总和，可得w与x的函数关系式，并写出x的取值范围；

（3）根据一次函数的增减性，进行分类讨论。

解：（1）C运往A市：x-60；C运往B市：300-x；D运往A市：260-x。

（2）由题意得，w=20（x-60）+25（300-x）+15（260-x）+30x=10x+10200，∴w=10x+10200（60≤x≤260）。

（3）由题意得，w=10x+10200-mx=（10-m）x+10200。

当0＜m＜10时，x=60时，w取得最小值，此时w=（10-m）×60+10200≥10320，解得0＜m≤8；当m＞10时，x=260时，w取得最小值，此时，w=（10-m）×260+10200≥10320，解得＜10，∴m＞10不符合题意。

综上讨论，m的取值范围是0＜m≤8。

【点评】本题在解答第三问时，需要根据一次函数w=（10-m）x+10200的增减性，对（10-m）的值是否大于0和是否小于0分别进行讨论。

四、方案问题

例5 （2018·江苏连云港）某村在推进美丽乡村活动中，决定建设幸福广场，计划铺设相同大小规格的红色和蓝色地砖。经过调査，获取信息如下：

_红色地_______砖_蓝色地_______砖购买数量低于______________________________5000块原价销售______原价销售______购买数量不低于5000块____以八折销售__以九折销售__

如果购买红色地砖4000块，蓝色地砖6000块，需付款86000元；如果购买红色地砖10000块，蓝色地砖3500块，需付款99000元。

（1）红色地砖与蓝色地砖的单价各多少元？

（2）经过测算，需要购置地砖12000块，其中蓝色地砖的数量不少于红色地砖的一半，并且不超过6000块，如何购买付款最少？请说明理由。

【解析】（1）根据题意，结合表格中数据，分别列出方程，得出答案。

（2）利用已知，得出x的取值范围，再利用一次函数的增减性得出答案。

解：（1）设红色地砖每块a元，蓝色地砖每块b元，由题意，得：

答：每块红色地砖8元，每块蓝色地砖10元。

（2）设购置蓝色地砖x块，则购置红色地砖（12000-x）块，所需的总费用为y元，由题意可得：x≥（12000-x），解得：x≥4000。

又∵x≤6000，

∴蓝砖块数x的取值范围：4000≤x≤6000。

当4000≤x＜5000时，y=10x+8×0.8（12000-x）=76800+3.6x，∴x=4000时，y有最小值91200。

当 5000≤x≤6000时，y=0.9×10x+8×0.8（12000-x）=2.6x+76800，∴x=5000时，y有最小值89800。

∵89800＜91200，

∴购买蓝色地砖5000块，红色地砖7000块，费用最少，最少费用为89800元。

【点评】本题在解答第二问时，需要根据一次函数的增减性，分别进行讨论，分为4000≤x＜5000与5000≤x≤6000两种情况。

五、学科交叉

例6 （2018·浙江绍兴）实验室里有一个水平放置的长方体容器，从内部量得它的高是15cm，底面的长是30cm，宽是20cm，容器内的水深为xcm。现往容器内放入如图的长方体实心铁块（铁块一面平放在容器底面），过顶点A的三条棱的长分别10cm，10cm，ycm（y≤15），当铁块的顶部高出水面2cm时，x，y满足的关系式是。