具有二次自作用的捕食-食饵系统的动力学分析

(昆明理工大学津桥学院理工学院,昆明,650106)

1 引言

近年来，很多学者研究了随机生物模型[1-4]. 本文考虑下面的捕食-食饵模型：

dx(t)=x(t)[a1-b1x(t)-c1y(t)]dt+α1x(t)dB1(t),
dy(t)=y(t)[-a2+b2x(t)+c2z(t)]dt+α2y(t)dB2(t),
dz(t)=z(t)[a3-b3y(t)-c3z(t)]dt+α3z(t)dB3(t),

(1.1)

其中x(t)，z(t)分别表示食饵A和食饵B种群在时刻t的种群密度，y(t)表示捕食者种群在时刻t的种群密度.a1，a3分别表示没有捕食者的情况下食饵A和食饵B种群的增长率，a2表示没有食饵的情况下捕食者种群的死亡率.c1，b3分别表示由于捕食造成的食饵A和食饵B种群的死亡率.b2，c2分别表示捕食者种群对食饵A和食饵B的消耗率.b1，c3分别表示食饵A和食饵B种群的二次自作用率.Bi(t)(i=1,2,3)表示一维的标准布朗运动，α2i(i=1,2,3)表示各种群受到的白噪声的强度.假设文中所涉及的所有参数及变量均为正的.

2 预备知识

定义2[5]N(t)被称为是均值意义下持久的，若[N]*>0(a.s.).

引理1[6]对任意给定的初始值(x(0),y(0),z(0))T∈R3+，系统(1.1)当t≥0时，存在唯一一个正解，且这个解将以概率1存在于R3+中. 再者，解(x(t),y(t),z(t))T∈R3+满足

引理2[6](1)若存在T>0，λ0>0使得

(2)若存在T>0，λ>0，λ0>0使得

3 主要结论

在研究种群动力学时我们总关心物种是否持续发展或灭绝.

证明对系统(1.1)应用伊藤公式得

上述等式两端同时从0到t积分并除以t，得

(3.1)

(3.2)

(3.3)

由(3.1)和(3.3)分别有

由(3.2)有

定理证毕.

由引理3.1，当t充分大时有

(3.4)

(3.5)

(3.1)式乘以b2再加上(3.2)式乘以b1，有

由引理3.1及(3.4)，当t充分大时有

由引理3.2(1)有

结合(3.4)，由(3.1)得

定理证毕.