数形结合思想在高中数学解题中的应用教育

吴载高

【摘 要】高中数学对于学生的逻辑思维培养有着重要作用，数形结合的思想理念就是高中生应当具备的基本思想之一。数形结合思想有着简洁、直观、形象等特点，“数”具有精确性，“形”具有直观性，利用数形结合的方法，将复杂的图形问题转化为简洁的数字问题，将抽象的数字问题转化为直观的图像问题，数与形的相互转化，就是把问题由抽象变为具体，由复杂变得简单。本文将通过对数形结合思想进行概述，通过具体的例子来应用数形结合思想进行解题，最后对数形结合思想进行总结。

【关键词】数形结合思想;高中数学;解题;应用

【中图分类号】G633.6       【文献标识码】A

【文章编号】2095-3089（2019）06-0034-01

数学思想的培养，能够帮助学生掌握数学知识和认识规律，是快速解决数学问题的有效途径。在高中阶段，我们所应用的数学思想包括：数形结合思想、函数思想、分类思想和化归等思想。数形结合思想不仅是一种解决问题的重要策略，同时也是一种数学逻辑概念。数形结合思想是高中数学基础知识的精髓之一，始终贯穿着整个高中的数学学习。

一、数形结合方法的含义

数形结合就是在数学教学中运用代数的客观严密和图形的生动形象结合。通过图形帮助理解，运用代数论证和处理问题的一种数学思想，数形结合分为两个部分，一是以图型帮助理解代数运算，二是通过代数运算推导图形。根据具体条件和导出结论的紧密关系可以从代数和图形两个方面互相推导，通过两者间的灵活转化可以轻松帮助我们解题。

数与形之间的有效转化方式主要有三種类型：第一类是由形转化为数，第二类是由数转化为形，第三类是数与形的相互转化。

第一类由形转化为数，主要是复杂的图形通过仔细观察，将图形中所要表达的隐含关系用数字及其数量关系进行表达，从而进行解题的一类方法;第二类由数转化为形，主要是根据题意要求，将数量以及其对，应关系能够用图画进行表达，并对数和式之间的本质关系进行揭示;第三类数与形的相互转化，就需要将数与形的对立统一关系充分了解，对图形进行直观分析，对数进行逻辑思考，从而将二者有效转化，把复杂问题简单化，最终能够解决复杂问题。

二、数形结合思想在高中教学中的实际应用

1.数形结合思想在导数中的应用。

每年高考最后一道数学大题非导数莫属。本文以求极值和区间问题为例展示数形结合思想在导数问题中的应用。例如题假设导数函数f（x）在无穷大区间之内是连续的，并且这个导函数的图形如图所示，这时，f（x）就有极大值或者极小值。在这个题目中，结合数形结合思想得出以下分析结果，本题要求学生求出极大值和极小值，结合题中图像，把f'（x）等于0的点左右两侧的正负判断把导函数符号确定好，就可以将给定的点的极大值极小值确定。

2.数形结合思想在概率中的有效应用。

在高中数学概率教学中，学生想要掌握概率这部分知识，就需要牢牢把握事物之间的关系，但是两个事件之间的关系抽象的、复杂的，学生对其理解掌握是比较困难的，将数形结合的思想引入概率课堂，将事件之间的关系应用图形的方式进行表述，这样就很容易掌握，并且不易混淆。

例如学生在理解互斥事件和对立事件时就会有一些疑惑，那么此时就可以利用数形结合思想进行理解。

假设全集为天气情况，那么事件A=天晴;事件B=下雨，显然A发生B就不可能发生，因此它们是互斥的。但它们不是对立的，因为除了天晴和下雨之外，还有其它可能的天气，比如下雪、冰雹等等，因此“天晴”和“下雨”假设全集为天气情况，那么事件A=天晴;事件B=下雨，显然A发生B就不可能发生，因此它们是互斥的。但它们不是对立的，因为除了天晴和下雨之外，还有其它可能的天气，比如下雪、冰雹等等，因此“天晴”和“下雨”的并集不包含所有可能的情况（整个样本空间），因此它们不是对立事件。并集不包含所有可能的情况（整个样本空间），因此它们不是对立事件。此时就可以通过画图，首先画一个大圆里面分别画两个小圆，这样直接形象的表达会使学生记忆深刻。

对立事件，即两个不能同时发生，但是不是a就是b。比如，袋子里只有红白两个球。那么，“第一次拿到白球”为A事件和“第一次拿到红球”为B事件，两者就是对立事件。不能同时发生，但不是白球就是红球。此时可以画一个方形，将其分为两半，一半为A，另一半为B，此时就可以充分理解对立事件了。通过二者图形的对比就能够牢牢把握互斥事件和对立事件的区别了。

3.数形结合思想在集合中的有效应用。

（1）数形结合思想在结合相互关系问题解决中的应用。

在集合中，我们通常会用一个圆圈来代表集合，如果是相交关系，那么圆与圆之间相交，两个集合公共的部分就是两个圆之间相重叠的部分。如果两个集合是相离关系，那么两个圆也就没有交叉的部分，二者之间是没有公共元素。

（2）数形结合思想在集合运算中的应用。

结合运算主要是通过画数轴的方式来解决的。如一个集合A大于3，小于7，集合B大于5，则二者相交的集合为？在解决这类型问题时，首先画一个数轴，在数轴上将二者画出来，然后看图回答就会十分简单。

总之，数形结合思想在高中数学教学和学习中起着基础性作用，牢牢掌握这一思想，将对学生的解题思路、寻找最佳解题思路和方法起着关键性作用。通过应用数形结合思想进行解题，能够让学生高效地掌握数学知识，并形成一类型问题的解决方法，形成正确的解题观。在面对抽象问题时，能够将其简单化和直观化，帮助学生记忆和理解，提高学生的数学思维以及认知能力，从而提高学生的数学思维，进而提高学生成绩。

参考文献

[1]王金战.育才方案―学习哪有那么难[M].北京大学出版社，2019.6.

[2]陈勇.数学结合思想在解题中的应用[D].河南理工大学教学与信息科学学院，2013.

[3]何玉兰.数形结合思想在高中数学解题中的应用[J].考试周刊，2015，（32）.

[4]孙立.数形结合理念对高中数学课堂教学设计的启示与借鉴[J].学周刊，2015（32）.

[5]彭再云，唐平.数形结合思想在高考数学中的应用浅析[J].教育教学论坛，2013（50）.