Bloch型空间到对数Bloch型空间的加权复合算子紧性特征

刘龙生，周继振

(安徽理工大学数学与大数据学院，安徽淮南232001)

令D={ z :|z|＜1}表示复平面上的开单位圆盘，H(D)为D上的解析函数组成的集合。设0＜α＜∞，若f∈H(D)满足

则称f属于α-Bloch空间[1-2]，记作Bα。B1就是Bloch空间，简记B。若在Bα中定义范数‖f‖α= |f(0)|+‖f‖Bα，则Bα是Banch空间。设0＜ α ＜ ∞，若f∈ H(D)满足

则称f属于对数α-Bloch空间，记作LBα。若f∈LBα满足

令u∈H(D)，由u可以定义H(D)上的点乘算子Mu(f)=u⋅f。令φ为D上的解析自映射，即φ∈H( D )且φ( D ) ⊂D，由φ可以在H( D )上定义线性复合算子Cφ(f)=f∘φ。故u,φ可以在H( D )上定义加权复合算子Tu,φ(f)=ϕ⋅f∘φ。有关Bloch型空间上的加权复合算子和算子理论的结果，见参考文献[3-8]。

为了简便，本文中C在不同的地方表示不同的常数。若存在与变量x无关的常数C使得f(x)≤Cg(x)，则记作f≲g。下面先给出Bα空间到对数Bloch型空间LBβ上的加权复合算子紧性刻画。

引理1[7]令0＜α＜∞，对任意f∈Bα和z∈D，则下列结论成立：

引理2[8]令α＞0，则存在f1,f2∈Bα和常数C使得

引理3设u∈H(D),φ(D)⊆D，则Tu,φ为紧算子当且仅当对于Bα中任意有界序列{ fn}，其中{ fn}在D上内闭一致收敛于0，恒有‖Tu,φfn‖β,log=0。

下面介绍本文的主要结论之一，Tu,φ:Bα→LBβ的有界性特征。

定理1设u∈H(D)和β＞0，φ是D上解析自映射，则下列结论成立：

(i)当0＜α＜1时，则Tu,φ:Bα→ LBβ是有界的当且仅当u∈LBβ且

(ii)当α =1时，则Tu,φ:Bα→ LBβ是有界的当且仅当(2)式成立且

(iii)当α＞1时，则Tu,φ:Bα→LBβ是有界的当且仅当(2)式成立且

证明(i)充分性。设u∈LBβ和条件(2)成立，令

直接计算得

必要性。令Tu,φ:Bα→LBβ是有界算子，则对任意f∈Bα，存在常数C使得

令f(z)=1，得u∈ LBβ。由引理1得

应用基本不等式，联立(6)式和(7)式得

取函数f1,f2∈Bα使得(1)式成立，由条件(8)式直接得

故条件(2)式成立。

根据引理1直接计算得

下面证明必要性。不失一般性，任取w∈D且满足 ||φ(w)＞δ＞0。令

其中，λw=-log(1 - |φ(w)|2)。直接验证得fw∈Bα且

有关计算过程可参考文献[9]。因Tu,φ:Bα→LBβ是有界的，故

在上式中令z=w，得(3)式成立。联立(3)式和(10)式，再次根据基本不等式得(ii)成立。

(iii)的证明与(i)和(ii)的情形是类似的，在此仅给出必要性证明中用到的函数。不失一般性，任取w∈D且满足 ||φ(w)＞δ＞0。令

易验证得gw∈Bα且满足

具体计算过程可参考文献[9]。余下的证明过程类似于(ii)，在此省略过程，定理证毕。

根据定理1，容易得到如下推论。

推论1令u(z)∈H(D)，则下列结论成立：

(1)当0＜α＜1时，则Mu:Bα→LBβ是有界的当且仅当u∈LBβ且

(2)当α=1时，则Mu:Bα→LBβ是有界的当且仅当(11)式样成立且

(3)当α＞1时，则Mu:Bα→LBβ是有界的当且仅当(11)式成立且

证明令φ(z)=z，由定理1可直接得推论1。

推论2设α＞0，φ是D上解析自映射，则Cφ:Bα→LBβ是有界的当且仅当

证明令u=1，定理1直接推得推论2。

下面的定理主要是刻画了加权复合算子Tu,φ:Bα→LBβ的紧性特征。

定理2设u∈H(D),φ(D)⊆D，φ是D上解析自映射，则下列结论成立：

(i)当0＜α＜1时，则Tu,φ:Bα→ LBβ是紧的，当且仅当u,uφ∈LBβ且

(ii)当α =1时，则Tu,φ:Bα→ LBβ是紧的，当且仅当u,uφ ∈ LBβ和(12)式成立且

(iii)当α＞ 1时，则Tu,φ:Bα→ LBβ是紧的，当且仅当u,uφ∈ LBβ，(12)式成立且

证明设 α＞0，若Tu,φ:Bα→LBβ是紧的，显然Tu,φ是有界的。 分别令f=1和f(z)=z，可得u,uφ ∈LBβ，取D里点列{ zn}使得| φ(zn)|=1。令

易得序列{fn}在Bα里是一致有界，且{ fn}在D上内闭一致收敛于0[3]，直接计算得

注意到

(i)的必要性已证明，下面证明(ii)的必要性。选取D里点列{ zn}使得| φ(zn)|=1。 令

其中λn=-log(1 - |φ(zn)|2)，易得序列{ gn}是Bα里的一致有界序列且在D上内闭一致收敛于0，直接计算得

故得(13)式成立。

再证(iii)的必要性。 选取D里点列{ zn}使得| φ(zn)|=1。令

易得序列{hn}在Bα里一致有界且在D上内闭一致收敛于0。计算得

故得(14)式成立。

下面证明(i)的充分性。取Bα里一致有界序列{ fn}使得{ fn}在D上内闭一致收敛于0。根据文献[8]的引理3.2，得n→ ∞时，有|f(z)| → 0。因u ∈ LBβ得

另一方面，当δ→1时，则有

因为u,uφ ∈ LBβ,故(1 - |z|2)β| u(z)φ′(z)| ＜ ∞。因为fn′(z)在D上内闭一致收敛于0，故

类似可证(ii)和(iii)的充分性，在此省略证明，定理证毕。

根据定理2，易得如下推论。

推论3设α＞0,φ是D上解析自映射，则Cφ:Bα→LBβ是紧的当且仅当

证明令u=1，由定理2直接得推论3。

引理4设U⊂，则闭集U是紧的当且仅当U是有界集且

对加权复合算子Tu,φ:Bα→LB0β的有界性与紧性刻画，考虑α的取值范围不同，得到如下结果。

定理3设u(z)∈H(D),φ(D)⊆D,0＜α＜1，则以下三个命题等价：

(i)Tu,φ:Bα→是有界算子；

(ii)Tu,φ:Bα→是紧算子；

证明(ii)⇒(i)显然。

(iii)⇒(ii)设(iii)成立，易得(2)式成立且u ∈ LBβ，根据定理1得Tu,φ:Bα→ LBβ是有界的。取{ fn} ∈Bα使得当n→ ∞时，fn在D上内闭一致收敛于0。由u∈和(16)式得，对∀ε ＞ 0, ∃δ∈(0,1)，使得当δ＜|z|＜1时，有

当δ＜ ||z＜1时，由引理1和上述估计式得

因为ε是任意的，故

另一方面，易得

因为{ fn′}在D上内闭一致收敛于0且ε是任意的

(i)⇒(iii)设Tu,φ:Bα→是有界算子。 令f(z)=1，得u ∈。令

易得gw∈Bα且gw(φ(w))=0,gw′(φ(w))= α(1 - |φ (w)|2)-α。直接计算得故(16)式成立，定理证毕。

定理4 设u∈H(D),φ(D)⊆D,α=1，则以下三个命题等价：

(i)Tu,φ:Bα→是有界算子；

(ii)Tu,φ:Bα→是紧算子；

(iii)(16)式成立且

证明(i)⇒(iii)设Tu,φ:Bα→LBβ0是有界算子。令fw按(9)式定义，直接计算得

令gw按(19)式定义，类似于定理3中的(i)⇒(iii)的证明，可得(16)式成立。证明的其余部分类似于定理3的证明，在此省略过程，定理证毕。

定理5设u∈H(D),φ(D)⊆D,α＞1，则以下三个命题等价：

(i)Tu,φ:Bα→是有界算子；

(ii)Tu,φ:Bα→是紧算子；

(iii)(16)式成立且

证明 (i)⇒(iii)设Tu,φ:Bα→ LBβ0是有界算子，w∈ D且满足|φ(w)|＞ δ＞ 0。 令

易验证hw∈Bα且满足hw(φ(w))=,hw'(φ(w))=0，直接计算得

令gw按(19)式定义，类似于定理3中的(i)⇒(iii)的证明，可得(16)式成立。证明的其余部分类似于定理3的的证明，在此省略过程，定理证毕。