静态电磁场计算中的广义有限差分法应用

张翌 兰州资源环境职业技术学院

有限差分是电磁场数值计算的一种重要方法，在很多的领域中都得到了广泛的应用，比如电机温度场的计算、磁场的计算等，对于一些网格变形或者复杂几何的问题，如何有效的使用网格划分的方式进行磁场计算是一项非常重要的难题。无网格法不同于其他的网格数值计算，无网格重要是通过节点信息的方式建立函数，然后根据节点之间的联系建立链接，解决了传统方法中存在的缺陷。无网格方法在近年来受到了广泛关注，成为工程计算领域中的热点话题。

1 研究背景

无网格法中，边界型无网格是在边界元法的发展中所得到的一种新的格式配置方法，在边界元法的基础上完善了问题维数的优势，根据边界配点得到边界元法中较为复杂的计算方式。边界型无网格方法在近几年的发展中广受欢迎，有多种不同的计算方法，每一种计算方法都有其自身独特的功能，同时也或多或少的存在一些问题，比如此种方法限制了其应用范围；区域性无网格正好弥补了边界型方法中存在的缺陷，对各种微分方程的边值计算具有一定的适用性特点，在工程计算领域中得到了广泛的而应用。区域性无网格也有多种不同的计算方法，其中以广义有限差分法为主，也就是本文重点介绍的内容，广义有限差分法作为一种新兴的区域性无网格计算方法，集合了多种功能，组合了控制方程中的导数与函数，解决了传统有限差分法中存在的依赖性特点，同时，使用该方法所生成的稀疏阵能够进行快速求解，在国内外的研究中都得到了广泛的研究，特别是工程领域。自适应广义有限差分法以进行自动配电，满足一定的精度要求，还可以实现四阶偏微分方程的边值计算，并对其进行求解。对广义有限差分法进行详细的研究后，得到各种因素对广义有限差分法带来的数值结果影响。

2 广义有限差分法基本概念

广义有限差分法分步骤进行，在求解的区域内进行任意设置，找到与其距离相近的点，这个点就称之为支持域，在这个支持域中有很多个点，将多个点的函数值分别在泰勒处展开。得到：

根据公式（1），得到：

公式（2）表示残差函数，根据最小二乘原理，将公式（2）中的相关元素进行求值，得到：

3 广义有限差分法的计算过程

广义有限差分法在构建线性方程的时候，可以使用泰勒和最小二乘相结合的方式进行构建，这种构建方式并不需要对插值函数进行计算，同时还可以有效的避免太过复杂的区域对网格带来的计算阻碍。在实际的应用过程中，广义有限差分法与其他的无网格计算方法相同，比较适用于偏微分方程的计算问题。既然可以计算偏微分的方程问题，也可以计算电磁场问题，其计算步骤为：

假设在该网格区域内有一个区域，用 表示，则静态电磁场的数学模型为：

其静态磁场数值计算公式为：

根据广义有限差分法的相关理论知识，可以将电磁场的计算步骤进行以下总结：

在区域内进行随机放点；然后根据泰勒公式构建矩阵；对于区域内多个节点形成代数方程。在进行离散的过程中，一定要注意，如果节点在区域内，需要尽可能的满足条件，得到：

如果节点没有在区域内，需要满足条件：

完成上述的计算后，计算方程组的值。

4 实例分析

为了更好的使用广义有限差分法进行静态电磁场的计算，需要不断完善其计算方法，在处理一些较为复杂的问题时，传统的有限差分法会对网格存在一定的依赖性，从而造成计算的结果存在较大的偏差。所以，为了更好地验证广义有限差分法的有效性，对比传统的有限元方法与广义有限差分法在模拟电位与磁场分布时的不同之处，将复杂求解域考虑其中，他对避雷针的电位分布进行模拟计算，并对计算的结果进行对比，以得到在计算问题中所存在的差异性。

在具体的实例中，如果没有对其进行具体的说明，分布的方式均采用绝对误差的方式进行计算，采用四阶泰勒展开式的方式对算例的数值逼近进行计算，数值之间的相对误差为：

对存在金属电磁场的数值进行计算，比如有一个接地的金属槽，顶盖与底面的电位分别为与0，能够满足区域内的方程条件，其求解的区域方程为：

解析公式为：

在求解的区域中选择若干个节点进行计算，每一个节点中所选择让点作为支撑域，并使用广义有限差分法进行配电，从而得到有限元的网格解剖结果。根据计算公式，能够得到广义有限差分法求解的金属槽电位，同时还能够得到磁场分布的最终结果。通过不同的计算方式，能够得到不同的电位分布效果，说明不管使用哪一种方式都能够得到较为可靠的计算结果。使用广义有限差分法能够得到更为准确的精度，降低相对误差，而有限元方法的计算精度较差些，说明使用广义有限差分法还是具有十分明显的优势。

5 结束语

综上所述，在静态电磁场的计算中将广义有限差分法应用其中，能够在非常复杂的电磁场环境中得到非常精确的计算效果，其非线性处理的问题需要作进一步的研究。