大学数学基础课中待定系数法的应用策略分析

摘 要：数学是一门具有较强抽象性和逻辑性的科目，学生在数学学习中经常会遇到困难，抓不住数学概念的本质，解题技巧性不强，面对题目无从下手，影响了学习效果。待定系数法是一种简单易懂的有效数学方法，适用于初中、高中、大学数学课程内容。本文以大学数学基础课为例，从实际例题出发，探讨了大学数学基础课中待定系数法的应用。

關键词：应用；待定系数法；大学数学基础课

大学数学基础课教学中，待定系数法作为一种有效的数学方法对数学题目论证和运算有着重要作用。所谓待定系数法简单来说就是在题目已知答案形式的基础上进一步确定题目所有目标的过程，利用引入相应的待定系数，将复杂的数学问题演变成代数方程组，在解方程后得到待定系数值，最后求得题目问题的表达式。应用待定系数法解答大学数学题目不仅能提升解题效率和准确性，还能够有效培养学生总结归纳的能力，加深学生对各个知识点区别与联系的深刻理解，达到融会贯通的学习效果，有助于学生抽象思维能力和综合分析能力的提升。因此，研究大学数学基础课中待定系数法的应用十分必要。

一、 待定系数法在微分方程中的应用

在大学数学学习中，微分方程是重要的学习内容，多位的微分方程简单来说就是指含有未知函数和其导数的方程关系式，学生解微分方程的过程实际上就是找出这个未知函数的过程。由于微分方程知识和题目涉及的范围比较广，包括物理动力学、运动学、导数知识等，学生在理解起来有一定困难，面对微分方程题目时，常常无从下手，不得其解。教师利用待定系数法教学，能够引导学生应用待定系数方式，降低题目难度，将复杂的微分方程简单化，厘清解答思路，进而提升解题效率，得到准确答案。

例1 已知微分方程y″-5y′+6y=xa2x，求方程的解。

解析：在看到微分方程题目后，分析题目性质可知这是一道二阶系数非齐次线性的微分方程。由已知条件可以判定f（x）的型呈现为aλxPm（x）型，（其中Pm（x）=x，λ=2），进而得到对应题目方程的齐次方程式y″-5y′+6y=0，在得到这一方程后可知它的特征方程为

r2-5r+6=0，经过计算得到方程两个实根数值r1=3，r2=2。计算到这里可以知道Y=C1a2x+C2a3x是题目方程对应的齐次方程通解。运用待定系数，因为特征方程的单根为λ=2，因此可以设方程y*=x（b0x+b1）a2x。将它代入题目方程，能够得到x=-2b0x+2b0-b1。接着比较等式两端同次幂的系数，可以得到1=-2b0，0=2b0-b1。进一步计算得到b1=-1，b0=-12。由此可知特解是y*=x-12x-1a2x。最终得到本道题的方程解y=C1a2x+C2a3x-12（x2+2x）a2x。

二、 待定系数法在不定积分中的应用

在不定积分数学题目中，不定积分和定积分间的关系实际上是由微积分基本定理来确定的，实际解题过程中，运用理论基础知识加之待定系数法，能够降低复杂的有理函数积分问题，攻克解题难关，降低被积函数分项难度，把题目的有理函数通过待定系数的方式分解成为多个简单化分式和，进而逐一求解，得到答案。

三、 待定系数法在空间解析几何中的应用

目前，我国高等学校数学教材中，空间解析几何根据课程大纲主要分为五个章节，内容主要研究了空间曲线与空间曲面、空间直线与平面、矢量与坐标、二次曲线、其他二次曲面等，知识点讨论了矢量的各种运算。在教学中教师有效应用待定系数法引导学生解答这类问题，能够提升解题效率，丰富解题方法，促进学生思维能力的提升，有利于学生数学思维的构建。

例2 设x，y和z轴与一平面的交点分别为M（A，0，0）、N（0，B，0）、F（0，0，C），其中A≠0，B≠0，C≠0，求这一平面的方程。

解析：在读完题目后，根据已知条件可先设所求平面方程是ax+by+cz+d=0，由于M（A，0，0）、N（0，B，0）、F（0，0，C）这三个点均在方程平面上，因此，这三个点坐标均满足于方程，利用待定系数法，即可得到Aa+d=0，Bb+d=0，Cc+d=0，在进一步计算后可知a=-dA，b=-dB，c=-dC，在代入后并除以d（d≠0），最终得到本题答案，平面方程式xA+yB+zC=1。

四、 待定系数法在矩阵运算中的应用

待定系数法在矩阵运算中的应用一般体现在抽象矩阵求逆过程中，通常在解答求逆时只是利用因式分解加之观察题目，虽然能够得到答案，但在面对题目非常复杂或者题目等式不能进行分解因式时，就要运用待定系数法，简化题目，让求逆过程不再困难重重。

例3 现有一n阶方阵M，设方阵满足条件（M-F）3=（M+F）3，求（M-2F）-1的值。

解析：在题目已知条件（M-F）3=（M+F）3下，能够得到M3-3M2+3M-F=M3+3M2+3M+F，简化等式得到3M2+F的值为0。

这时我们可以令（M-2F）（3M+mF）=pF，将这一等式开展进行整理计算后得到m=6，p=13，最后得到本题答案（M-2F）-1=-313（M+2F）。

五、 结束语

总而言之，在大学数学基础课中待定系数法有重要应用作用，有效利用待定系数法可以解答大学数学微分方程题目、不定积分题目、空间解析几何题目、矩阵运算题目，是一种降低题目难度、简化解题过程的有效方法。因此大学数学基础课程教师要在教学中重视待定系数法的讲解和运用，拓展学生解题思维，打开数学学习思路，从而提升数学学习能力和解题水平，为学生的数学学习打下坚实基础。

参考文献：

[1]郭国安，宋洪雪.待定系数法在三角函数积分计算中的应用[J].大学数学，2017，33（2）：102-108.

[2]李卫高.待定系数法求自然数幂和[J].大学数学，2014，30（1）：114-116.

作者简介：张娜，宁夏回族自治区银川市，中国矿业大学银川学院。