GPS单点定位原理教学实践研究

张守建

摘 要 GPS单点定位是各种GPS精密定位的基础，目前课堂教学中仅讲授GPS单点定位的几何原理，很少提及其详细的数值求解过程。本论文给出了GPS单点定位中的两个关键步骤的算法：1）GPS卫星信号发射时刻和卫星位置的计算方法；2）GPS单点定位的计算方法，这两个部分结合形成了GPS单点定位的迭代计算方法，为学生掌握单点定位的原理和算法打下基础。

关键词 GPS 单点定位 最小二乘

全球定位系统（Global Positioning System，简称GPS）可为车辆、船只、飞机等各种移动用户提供全天候高精度导航、定位与授时，极大地促进了社会信息化水平。GPS单点定位技术是指采用单台接收机的伪距观测值求解接收机位置和接收机钟差的方法，是导航、定位与授时等功能中的核心算法。

在高精度定位领域，大地测量学者发展出了更高定位精度的差分定位技术、RTK定位技术和精密单点定位技术等多种高精度定位方法，在这些定位技术中，其核心也是依托于单点定位技术，不同之处在于如何更加精细地处理各种系统误差。

因此，在“GPS原理与方法”这门课程中，把单点定位技术讲清楚是后续学习各种精密定位方法的关键所在，目前我们在讲授单点定位内容时，一般只讲授几何定位原理，其求解的具体过程涉及很少。为了更好地让学生掌握这部分内容，本论文阐述了GPS单点定位中几个关键步骤，并给出了详细分析过程，以期达到让学生掌握这一核心算法的目的。

1 伪距观测方程

接收机以确定的时间间隔（通常情况下为30s）来读取并记录数据，假设接收机的读取时间为，那么接收机对卫星的观测方程可以写为：

（1）

其中为信号接收时刻，为GPS卫星信号发射时刻，为真空中光的传播速度，需要注意的是，由于接收机和卫星上自带的时钟系统均包含有各自的系统误差，与标准的GPS时间系统并不能保持一致，上述接收时刻和发射时刻分别可以表示为：

（2）

（3）

为了表述清晰起见，这里将时刻定义为钟面时刻，將t定义为真实时刻，将公式（2）和（3）代入到公式（1），伪距观测方程可以整理为：

为了更清楚地阐明单点定位求解过程，上述伪距观测方程中没有考虑相对论效应，电离层延迟，对流层延迟等系统误差，但在实际定位中需加以考虑。

假设已知信号发射真实时刻ts，根据GPS导航电文中给出的卫星轨道根数和卫星钟差等参数，即可计算出对应时刻的卫星轨道和卫星钟差s，将卫星轨道和卫星钟差代入到观测方程（4）后，剩下4未知参数，分别为接收机位置和接收机钟差，然后采用第3节的最小二乘方法可得到这些未知参数的解。

在计算卫星轨道和卫星钟差时，需要已知信号发射的真实时刻，而在接收机观测值文件中（比如RINEX文件中），我们仅知道信号接收钟面时刻和对应时刻的伪距观测值，是否可以利用信号接收钟面时刻代替发射真实时刻来计算卫星轨道和钟差呢？答案是否定的。因为GPS卫星轨道高度在20000公里左右，信号从卫星到地面接收机大概需要0.075s，GPS卫星运动速度约为3.9km/s，因此其误差可达为290m左右，这会严重降低单点定位精度，因此GPS卫星信号发射真实时刻的计算是求解单点定位的关键所在。

2卫生信号发射真实时刻计算方法

为了计算信号发射真实时刻，把观测方程（1）进行整理：

（7）

将方程（3）代入上式，可得信号发射真实时刻为：

（8）

从公式（8）可以看出，根据信号接收钟面时刻和伪距观测值，并根据导航电文，就可以计算出卫星信号发射的真实时刻，然而卫星钟差的计算也需要信号发射真实时刻，因此需要对公式（8）进行迭代计算，过程如下：

需要注意的是，卫星钟差数值一般10-4s到10-5s之间，其精度一般跟GPS卫星搭载的原子钟的精度相关，目前搭载的GPS卫星有三类原子钟，包括铷原子钟，铯原子钟和氢原子钟，其中铷原子钟相对稳定度在10-12s/s，铯原子钟为10-13s/s，氢原子钟为10-14s/s。考虑到上述卫星钟差的数量及精度，上述迭代公式一般需要计算2次就可以满足单点定位精度求。此外，上述求解过程中，伪距的观测误差也是可以忽略的，因为其距离误差约为10m，对应时间误差为10-8s，卫星运动距离小于1mm。

上述迭代计算过程是基于伪距观测方程的，事实上卫星信号发射真实时刻还可以从真实几何距离方程得到，我们知道几何距离方程为：

（9）

变换上述方程可得：

（10）

可见上述方程也需要进行迭代计算，具体过程为：

上述迭代过程，接收机真实时刻t的计算需要知道接收机钟差，而接收机钟差是未知的，因此只能利用接收机钟面时刻T代替，其最大误差为1ms，对应的卫星运动距离为3.9m左右，与伪距观测值精度相当，可以忽略。几何距离的计算需要知道接收机位置和卫星位置，接收机位置可以先假设一个合理的大概位置，一般可设置为（0，0，0），卫星位置可以根据卫星发射时刻利用导航电文计算得到，具体请参考（李征航，黄劲松，2005）。需要注意的是，导航电文中GPS卫星位置是地心地固坐标系，不同时刻卫星位置所属的参考框架是不同的，由于信号发射时刻和信号接收时刻参考框架是不同的，因此需要对由于地球自转引起的参考框架旋转进行改正。

上述两种迭代算法在单点定位中都常用到，第一种迭代算法速度更快，也更容易理解；第二种迭代算法需要根据接收机位置计算几何距离，所以需要和单点定位整体迭代过程结合在一起，也更加复杂。此外，实际计算时，上述算法均需考虑相对论效应，否则定位精度会受到影响。

3 GPS单点定位参数估计方法

从GPS伪距观测方程（6）可以看出，单点定位观测方程是一个非线性观测方程，为了数值求解这个方程，首先应该将其线性化，然后采用最小二乘法来估计未知参数。

首先，将观测值表达为一个模型值和误差项：

（11）

根据泰勒级数展开法则（Taylor's theorem），将模型在初始值（也称为先验值）附近展开，并舍弃掉二阶及高阶小项，可得：

（12）

注意上述偏导数也需要使用先验值进行计算，于是残差观测值也就是实际观测值与模型计算值之差，此时线性化观测方程可写为：

（13）

写成矩阵形式：

（14）

假设在当前历元观测了m颗卫星，那么观测方程可以写为：

（15）

将其写成矩阵形式： （16）

上述观测方程描述了残差观测向量b与未知参数向量x之间的线性函数，因此被称为线性化观测方程，观测方程中残差向量v是未知的，需要在参数估计后确定。假设未知参数向量x的估值为，根据最小二乘原理，其解为：

=（ATA）-1ATb （17）

需要注意的是，由于觀测方程是非线性的，上述计算过程需要进行多次迭代，直到待估参数的解收敛为止。（下转第131页）（上接第108页）

根据上述卫星发射时刻计算时间和参数估计方法，GPS单点定位的流程图如图1所示。

4 结语

GPS单点定位技术是导航、定位和授时的基础，也是差分GPS和RTK技术等精密定位技术的基础，本论文从GPS单点定位实现的流程着手，给出了两种不同的卫星发射时刻和卫星轨道计算方法，然后介绍了单点定位估计方法和注意事项，最后给出了GPS单点定位的整个数值计算流程图，为学生掌握单点定位技术的核心流程和关键点提供指导。

参考文献

[1] 李征航，黄劲松.GPS测量原理与数据处理.武汉大学出版社，2005： 152-278.

[2] 周中谟，周琪.GSP卫星测量原理与应用[M].北京测绘出版社，1997.

[3] Blewitt， G. （1997）. Basics of the GPS Technique： Observation Equations. In Geodetic Applications of GPS， p. 10-54， ed. B. Johnson， Nordic Geodetic Commission， Sweden， ISSN 0280-5731.

[4] GNSS - Global Navigation Satellite Systems： GPS， GLONASS， Galileo （2008）. More Hofmann-Wellenhof， Lichtenegger， Wasle， Springer/Wien New York.