一道万有引力好题

李志强

(华中师范大学第一附属中学 湖北 武汉 430223)

在万有引力这一章的所有知识基本学完后，笔者在一堂课上给学生解决练习题中的疑难点，遇到了下面这一道题.

【例题】两颗人造卫星绕地球逆时针运动,卫星1、卫星2分别沿圆轨道、椭圆轨道运动,圆的半径与椭圆的半长轴相等,两轨道相交于A,B两点,某时刻两卫星与地球在同一直线上,如图1所示,下列说法中正确的是( )

A.两卫星在图示位置的速度v2=v1

B.两卫星在A处的加速度大小相等

C.两颗卫星在A或B点处可能相遇

D.两卫星永远不可能相遇

图1 例题题图

此题中，选项B，C，D均比较容易判断.由万有引力定律和牛顿第二定律可以知道，两卫星在A点的加速度大小相等.两颗卫星轨道半长轴相等，中心天体相同，由开普勒第三定律可知，它们周期相等，因此当卫星1位于轨迹下半周时，卫星2位于轨迹上半周，所以它们永远不会相遇.

但对于选项A的解释并不是非常容易，笔者在和学生互动时，学生的思维活跃程度令人惊喜，他们给出了以下多种解释方法.

解法1：

利用卫星变轨的知识.如图2所示，想象一个与椭圆轨道远地点相切的圆形轨道，记为轨道3.设卫星在轨道3上运行的速度为v3，根据万有引力定律和圆周运动规律，我们可以知道v3

图2 解法1分析示意图

解法2：

图3 解法2分析示意图

解法3：

图4 解法2分析ρ1>ρ2解法3分析S1>S2

图5 解法3分析v1>v2

一节普通的习题课，无意间仿佛变成了一节高效的复习课.此题的解法中涉及到开普勒第二、第三定律，万有引力定律、牛顿第二定律、圆周运动、卫星运动规律等知识，在同学们的讲解和分享过程中不知不觉对这些知识都进行了复习.尤其是解法2，对于圆周运动向心加速度表达式的理解要求很高，要能区分曲线某一点的曲率半径与该点到中心天体球心的距离，这正是很多同学易产生困惑的难点.在这节课上，提出了解法的几位同学很有成就感，其他同学听完这3种解法，都啧啧称赞，显得很兴奋.这样一道好题不但给了学生思考和展示的机会，同时也是对万有引力定律这一章知识认真细致的复习.因此，我们的单元复习课和高三的复习课，也可以精心挑选和设计一些好题，让学生在开放的课堂氛围中思考、讨论，从而达到综合运用知识和复习的目的，比教师“一言堂”或者让学生做许多重复训练要好得多.