由斯图尔特定理推导的几则长度公式

2019-04-15张恭潜张海贝

数学学习与研究 2019年4期

关键词：勾股定理中线

张恭潜张海贝

【摘要】对斯图尔特定理中的切氏线进行特定设置，用面积系数建立起以勾股定理为范式适用于任意三角形三边的度量关系式;丰富了三角形的长度公式，感悟数学美.

【关键词】切氏线;中线;内等腰线;面积系数;勾股定理

悠久的勾股定理奠定了几何学基石.译著《几何原本》[1]第Ⅰ卷47命题中，欧几里得用面积法证明了勾股定理（毕达哥拉斯定理）谱写了直角三角形三边度量的精美关系式（图1左）：

a2+b2=c2. （1）

在第Ⅱ卷12，13命题中，又证明了现行余弦定理之原型.余弦定理之原型是四条线段的度量关系式，其数学表达式为（参见图1右，中）：

余弦定理原型（2）（3）两式的出现，证明一切三角形均具有三边间的度量关系式，揭示了同类事物存在共性和个性的哲学原理.

余弦定理原型用“矩形面积修正项”[2]添加在勾股定理等式的一边，建立了非直角三角形的三边度量关系.尽管（2）和（3）式均内含了直角三角形（CD=0）的特例，但“±”运算的差异使两式不能统一.千余年后有了三角函数，才使（2）和（3）式统一.但现行的余弦定理超越了长度定理范畴[3].

回到长度定理范畴来思考，从数学美的视角来看，余弦定理原型由于存在“面积修正项”，使（2）（3）两式的美感度与二次三项等式的勾股定理之“简洁美”“对称美”相比存在明显的差距，尤其是两式不能合一的问题对数学追求“统一美”而言是个遗憾.联想到一个圆锥曲线方程能融合三种相异的圆锥曲线[4]，故从类比思维来考量以上遗憾时，就会让人萌发出去寻找一个能融合（1）（2）（3）式的尝试.

具体思路是以勾股定理为范式，选择合适的第四长度参数，用“面积修正系数”替代“面积修正项”，建立适于任意三角形三边间的度量关系式.

所幸的是斯图尔特定理为此提供了现成的平台.1745年苏格兰人斯图尔特（M.Stewart）推出了斯图尔特定理[4]：图2中由三角形顶点C任意引一条切氏线（Cevian）CD交对边AB于D点，则有下列等式成立：

AD·BC2+BD·AC2=AB·CD2+AB·BD·AD. （4）

此公式可用余弦定理原型推出.它将原三角形线间二维关系升格为三维关系等式，蕴含丰富内容，成为导出多个几何公式的公用平台[5].

如图2中切氏线CD是AB边的中线，其长记为mc，用AD=BD= c 2 ，代入（4）式，整理后就是中线公式：

a2+b2= c2 2 +2m2c. （5）

现改写为如下“系数式”：a2+b2= 1 2 +2 mc C 2 ·c2. （6）

令β= 1 2 +2 mc C 2，β是线段商 mc C 的函数，是无因次系数，代入（6）即为：

a2+b2=βc2. （Ⅰ）

这是个以勾股定理为范式的表达式.对照余弦定理原型（2）（3）两式，（Ⅰ）式取消了“面积修正项”“±2a·CD”，而用“面积修正系数”β来建立一个二次三项等式.式（Ⅰ）的几何意义是：三角形的任两条边的平方和等于第三条边的平方乘“面积修正系数”β，β= 1 2 +2 mc C 2，其中C是第三边边长，mc为第三边之中线长.

现对“面积修正系数”β做进一步的分析.见图3，AB为三个三角形的公共底边，以AB为直径（AB=C=2r）作圆O，从各三角形顶点作底边之中线m1，m2，m3.

1.顶点C1在圆外，所以∠C1是锐角，△AC1B中C边上中线大于圆半径r，即m1> C 2 ，故β1= 1 2 +2 m1 C 2>1.因此，当AC1和BC1两边夹角为锐角时，对边的面积修正系数β1的值域为：（1，+∞），即AC21+BC21>AB2.

2.顶点C2在圆上，所以∠C2是直角，△AC2B中C边上中线等于圆半径r，即m2= C 2 ，故β2= 1 2 +2 m2 C 2=1.因此，当AC2和BC2两边夹角为直角時，对边的面积修正系数β2≡1，即AC22+BC22=AB2.

3.顶点C3在圆内，所以∠C3是钝角，△AC3B中C边上中线小于圆半径r，即m3< C 2 ，故β3= 1 2 +2 m3 C 2<1.因此，当AC3和BC3两边夹角为钝角时，对边的面积修正系数β3的值域为： 1 2 ，1 ，即AC23+BC23

综合以上三种情况可知，式（Ⅰ）包容了三种三角形的情况，因此，它是适于任意三角形三边间度量关系的统一表达式，其面积修正系数β的值域为 1 2 ，+∞ .式（Ⅰ）具有简洁美，对称美，并将（1）（2）（3）式融成一式而具有了“统一美”.

三角形有三条中线，由式（5）可写出三个等式，进而可得到下式：

3（a2+b2+c2）=4（m2a+m2b+m2c）. （7）

这是三角形三边与三中线间的度量关系式，也是个美而有趣的长度公式.

有了（Ⅰ）式之后，就会诱使人们去寻找下面的表达式，如，

a2+b2=c2 （Ⅱ）

和a2+δb2=c2，（Ⅲ）

（c≥a，b）

以上两式也是以勾股定理为范式的二次三项式.γ和δ均是面积修正系数，与式（Ⅰ）不同的是在等号左边仅对某边面积进行修正，这样从等式结构上看，c边不应该比a，b短，故设条件c≥a，b，这与勾股定理中三边长度关系是相近的.现关键是要寻找合适的第四长度参数，才能得到γ和δ系数.现再次让斯图尔特定理中的切氏线担当此任.见图2，设切氏线的D点是BC边之垂直平分线与AB边的交点.这样△BCD是个等腰三角形，切氏线CD是等腰三角形的一条等腰，它位于三角形内，故命其“内等腰”.将CD=BD=d，AD=c-d代入斯图尔特公式（4），整理后有

c-d d a2+b2=c2. （8）

令γ= c-d d ，γ是个线段商、无因次系数，其中d= ca2 c2+a2-b2 .所以上式就可写成：

γa2+b2=c2. （Ⅱ）

该式的几何意义是：三角形一短边a的平方乘面积修正系数γ后与另一短边的平方之和等于长边的平方;面积修正系数γ= c-d d ，其中c是长边，d是以a边为底的等腰三角形的内等腰.

现对面积修正系数γ做进一步分析，参见图2：

1.当内等腰d< c 2 时，γ>1，由（Ⅱ）式可知此时三角形三边有不等式a2+b2

2.当内等腰d= c 2 时，γ=1，由（Ⅱ）式可知此时三角形三边有等式a2+b2=c2，所以此时a，b两边所夹的角为直角，γ≡1.

3.当内等腰d> c 2 时，γ<1，由（Ⅱ）式可知此时三角形三边有不等式a2+b2>c2成立，所以此时a，b两边所夹的角为锐角，对应γ的值域为[0，1）.其中γ=0是当d=c=b时的特例，此时D点与A点重合，△ABC是以BC为底的等腰三角形.

通过对面积修正系数γ的分析可知，（Ⅱ）式与（Ⅰ）式一样均适用于各种三角形.

同理按（Ⅱ）式可推导（Ⅲ）式.见图4，让切氏线CE成为以AC为底的等腰三角形的内等腰，以CE=AE=e，BE=c-e代入（4）式就得：

a2+ c-e e b2=c2. （9）

令δ= c-e e ，其中e= cb2 c2-a2+b2 .