中学生数学建模中的线性规划技巧分析

◆侯佳仪

(内蒙古第一机械制造〈集团〉有限公司第一中学)

1引言

当需要量化求解一个实际问题时，首要的便是将实际问题转化为数学问题，从而使问题得以合理的描述和有效解决，这便是数学建模。数学建模是数学理论与实际应用之间的一座重要桥梁。数学建模问题中，有超过半数属于优化问题，而其中绝大部分又可以近似看成线性规划问题。线性规划是一项应用极其广泛的数学模型，在经济、军事、科研等方面均有重要作用。

本文正是基于对数学建模的兴趣，在充分调研的基础上，对数学建模中的一些常用方法进行总结与归纳，并重点深入分析线性规划在数学建模中的作用，最后对这些年实际的数学建模进行了总体分析，以此拓展对数学建模的理解，为进一步学习数学理论与数学应用奠定基础。

2基本概念

2.1数学建模

2.1.1数学建模概况

数学建模就是对现实生活中所遇到的实际问题加以分析、抽象和简化，使之成为一个可以刻画实际问题的数学模型，进而对其进行求解、分析以及检验的过程。所建立的模型可以大致分为以下四种类型：

(1)与数量有关：如典型的有函数模型、方程模型、不等式模型、数列模型与概率模型。

(2)与形状相关：如平面几何模型与立体几何模型。

(3)与位置相关：如解析几何模型与极坐标模型。

(4)与最值相关：线性规划模型。

针对这四种常见的数学建模类型题，通常可以有五种解决的方法，分别是：

(1)关系分析法，将实际问题中的数学关系抽象出来，并对其加以分析和简化，再进行判断属于以上四种类型中的哪一种，进而进行求解。

(2)图像分析法，是通过借助函数图像的方式寻找实际问题中的关系，并通过图像的变化趋势确定实际问题的最优解，进而实现求解。

(3)数量关系式，根据问题中所描述信息列出数量关系式，并依据此数量关系式进行进一步讨论、求解问题。

(4)数学归纳法，先根据所给信息大致抽象出一般规律，再证明其正确性并推广，从而进行求解。

(5)示意图分析法(常用于分析几何模型)：抽取出题中所给信息主要内容，将问题进行简化，结合基本几何模型进行分析。

2.1.2数学建模一般步骤

数学建模不仅是一种竞赛，更是在解决实际问题中需要经常采用的一种解决策略，因此在实际应用过程中通常都是按照一定步骤按步执行，其一般可以描述为图1所示的步骤。

2.2线性规划理论

2.2.1线性规划概况

线性规划是一种可以辅助人们进行科学管理、科学决策的一种十分有效的数学方法，主要研究对象是实际问题中存在线性约束关系下，求解一些特定目标值的最优解，换言之，是目标函数极值问题求解的数学理论与数学方法，在日常的工程技术(如能耗最小、路程最短)、经济分析(如利润最高)、经营管理(如效率最佳)以及军事作战等方面均得到了广泛有效的应用，最终借助有限的资源实现最优的目的，为实际问题提供科学的依据。其中典型的线性规划问题可以如下描述。

目标函数：Max(Min)z=c1x1+c2x2+…+cnxn

约束条件：a11x1+ a12x2+…+a1nxn≤(=，≥)b1

a21x1+ a22x2+… + a2nxn≤(=，≥)b2

……

am1x1+am2x2+…+amnxn≤(=，≥)bm

x1，x2，…，xn≥0。

其中x1，x2，…，xn为决策变量，即实际问题中的因变量，目标函数是用决策变量表述的函数关系，并求解其最大值或最小值，约束条件便是约束决策变量的等式或不等式，当然实际问题中决策变量并不是可以任意取值的。本模型描述中的目标函数和约束条件都是线性关系，实际上目标函数在高中线性规划问题中可以是非线性问题，如距离关系的求解、斜率的变化求解等，实际线性规划问题中并不会做十分严格的限制。

2.2.2线性规划问题的求解

通过2.2.1对一般线性规划问题的描述与建立，根据实际线性规划问题的求解也会按照一定特定的步骤进行求解，如图2所示，根据步骤可以得到如图3所示的平面关系，当然为了作图方便，图像中只有两个因变量，三个及以上的因变量需要借助计算机技术才能得到快速有效解。

3数学建模中线性规划问题分析

从资料调研来看，高中生、大学生和研究生均有数学建模大赛，尤其是大学生数学建模大赛最为激烈，可见该竞赛已经成为在校学生课外科技活动的重要项目之一。通过对近些年数学建模大赛的题目分析，其中可以建立线性规划模型的占有较大比例，典型的可以归纳为以下几类。

(1)生产计划问题。如某年题目就以一个企业的生产状况为依托，要求确定各种产品的产量为多少时可以实现企业收入达到最大。类似问题有很多，如交通调度等，需要考虑实际社会需要以及企业自身的生产能力进行模型建立，最终归咎为线性规划问题，进而给出科学合理的决策依据。

(2)任务分派问题。如一次数学建模大赛中就提到有若干项任务分配给若干个人去完成，但是每个人有自己的专业优势，完成每项任务的成本也不一致，遇到这类抽象问题的时候，往往需要进行一定的假设，并按照一定的等级设定相应的数量，进行线性规划建模与求解。

(3)经济最优问题。这类问题是最为常见的线性规划问题，如有食谱问题、企业原材料的采购与运输问题、多种投资组合的决策问题、商店的入货问题等，需要综合考虑各种因素，通过对实际问题的分析，建立线性规划模型进行求解分析，给出合理的解决方案，实现价值最优化。

当然除此之外，还有很多其它问题，如环境治理等热点问题均是近些年数学建模中出现的可以采用线性规划方法进行解决的问题。

4结论

随着高考的不断改革，除了传统的学科竞赛项目之外，近些年中学生数学建模大赛也得到了各方的重视，也许若干年后将会与学科竞赛具有一样的价值。事实上高中生已经具备一般的数学建模知识与技能，无非是潜在要求将知识与实际应用进行有效的结合，这在一定程度上可以考察发现问题、分析问题、解决问题的能力。而数学模型的建立与高中所学的函数理论、线性规划、几何关系等具有十分密切的关系。本文所论述的线性规划问题在数学建模大赛中应用十分广泛，通过对数学建模和线性规划理论的阐述，并重点阐述了实际的应用问题，需要参赛者赛前得到足够的重视。在实际参加数学建模大赛前，需要借助大量的实际应用例子来拓展视野，掌握思路与方法才能对实际问题进行科学合理的建模、求解和分析。