数学归纳法在数列问题中的应用分析

◆黄天宇

(江苏省常州市北郊高级中学)

一、引言

数列问题是数学领域非常重要的一个分支，也是高中所必修必考内容之一，其主要是由于在现实中应用十分广泛，如人们的储蓄额度、社会人口、分期付款等最终都可以抽象为数列问题，甚至有科学家曾说没有数的序列就没有数学问题，可见数列在数学领域中的重要地位。数列本质上是指一列有序的数，但实际研究和应用中这组数据都存在一定的规律，如典型的有等差数列、等比数列、斐波那契数列等。但遇到不能快速发掘规律的数列，往往有一些特殊的方法得以解决。本文提出的数学归纳法应用于数列问题求解便是其中的一种，在实际应用中具有特定的优势。

本文正是基于一些特殊数列的求解问题，采用常规直接推导时遇到困难，结合数学归纳法解决这类问题的优势，从多角度阐述数学归纳法在数列问题中的求解，为后续进一步学习数学相关专业奠定理论基础。

二、数学归纳法

1.数学归纳法概念

数学归纳法作为一种演绎数学证明方法是有严谨的推理过程的，通过被用于从局部正确到全部正确的推理应用，也就是一种科学合理的由特殊到一般的推导证明归纳，借助这种有限步骤实现无限问题的解决，其思路来源于数论的理解，即如果一个自然数集合中，如果包含自然数1，在假设也包含自然数n的情况下，则可以证明一定包含自然数n+1，所以该集合是一个自然数集合。历史上经典的有骨牌现象等都可以用数学归纳法给予解释。

2.数学归纳法的解题步骤

经过高中对数学归纳法的理解、应用，对于一般的数学归纳法可以应用经典的数学归纳法步骤进行解答，其一般的解题步骤如图1所示。

通过上述三步的合理推导，只需要简单的陈述即可完成结论的证明。可见，该方法的思路清晰明了，原理简单可行，在数学理论中具有十分重要的作用。

三、数学归纳法在数列中的应用

数列问题有时求解非常困难，有的甚至一眼知道结果，但是往往却很难用严谨的数学推导给予证明，而数学归纳法却是很好的方法，对这类问题有着很好的应用背景。

1.数学归纳法在数列通项或求和中的应用

数列中的通项公式和求和公式往往都是借助现成等差数列或等比数列进行得到，但现实求解过程中又会遇到一起无法用经典结论进行推导的，则需要特殊问题特殊解决。例如：

2.数学归纳法在数列不等式证明中的应用

数列解答题中的不等式证明，往往难度系数较大，通常难以得分，最为常用的方法是放缩法，即当要证明不等式AA，去证明CB，寻找中间量C

3.数学归纳法在探索数列参数范围中的应用

数列问题中一些未知参数的求解往往较难，但有时候如果思路变通，即可以采用一些特殊的方法进行处理，进而达到解题的目的。

四、结论

综上，借助对数学归纳法的理解和掌握，通过对数学归纳法的思想和解题步骤的总结归纳，加深对其应用的掌握程度。同时借助几个典型的应用案例，开辟性地阐述了应用思路的来源、应用过程的分析和应该结果的分享。从使用结果来看，数学归纳法在数列问题中具有两点优势：(1)理解和掌握数学归纳法有助于对复杂问题有快速且有条理的去解决问题，尤其是数列的证明问题；(2)借助数学归纳法的应用，可以对思考问题的思维进行有效锻炼，提高对内在逻辑的推演，提高综合分析能力。