利用多种手段凸显数学本质

邱莲

[摘 要]把握数学知识的核心，是课堂教学揭露数学本质的基本手段。在教学中，让学生借助直观图，寻求知识之间的内在联系，在分析对比、动态想象中把握数学本质，感受数学思想的魅力。

[关键词]直观;对比;想象;数学本质

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2019）08-0064-02

数学知识是依靠数学思维和数学思想方法联系起来的，每一种数学知识都对应着一个核心内容，把握数学知识的核心，是课堂教学揭示数学本质的基本手段。下面我结合本人在课堂教学中的粗浅做法，谈谈如何遵循学生认知规律，借助直观、对比、动态想象等手段，引领学生正确把握数学的本质。

一、 借助直观，凸显数学本质

人们在认识和理解抽象数学特征或规律的过程中，往往要进行动手操作活动，通过活动采用具体可感的直观物体来表征数学问题，以便更加形象、清晰地认识知识的本质。

例如，在教学“分数基本性质”时，我改变以往依托教材中提供的相等分数进行研究的教学模式，让学生自主创造一组相等的分数，并用自己喜欢的方式表达想法。

1.折一折：利用手中的正方形纸自主创造一组相等的分数。

2.画一画：通过画、涂，找到一组相等的分数。

思考：在折、画的过程中，平均分的份数发生了怎样的变化？涂色部分表示的份数发生了怎样的变化？

学生先独立思考并动手操作，再全班交流。

生1：用两张相同的正方形纸折一折，找到[12]=[24] 。

生2：利用一张正方形纸折一折，找到[12]=[24] =[48]。

生3：通过画图（如图1），找出[14]=[28]。

生4：通过画线段图（如图2），找到[12]=[24] ，[12]=[48]和[12]=[816]。

学生借助折纸和画图，在直观图的支撑下，初步发现涂色部分和平均分的份数发生同样的变化，由此明白分子和分母同时乘或者除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变。

3.想象：依次呈现一个圆的一部分（如图3），让学生根据所给的图形想象它们各占整个圆的几分之几。

4.归纳、概括：观察、比较学生找出的一组组相等的分数，归纳概括出分数的基本性质。

从上述案例可以看出，当教师给予充足的探究空间时，学生自主生成的实物图、线段图就更为形象、具体，有利于学生感悟当图形中每一等份平均分成若干小份，整个图形所分的份数和涂色部分所占的份数都会随之变化，但分数的大小不变，进而从数学本质上理解分数的本质特征，提高抽象思维能力。

二、巧用对比，凸显数学本质

数学中的许多内容既有联系又有区别，教师在教学时应注意沟通各部分之间的联系，通过对比，使学生体会不同内容之间的有机联系，感受数学的整体性，从而更好地理解数学本质。

例如，在教学苏教版五年级下册第45页第8题“把一张长15厘米、宽9厘米的长方形纸裁成同样大小的正方形。如果要求纸没有剩余，裁出的正方形边长最大是多少厘米？一共可以裁出多少个这样的正方形？”时，我这样启发学生。

1.读题，理解题意。

2.先独立思考，然后同桌交流：把长15厘米、宽9厘米的长方形纸裁成同样大小的正方形（纸没有剩余），正方形的边长可能是多少？它必须满足什么条件？正方形的边长最大是多少？

3.画图验证并说理。

生1：经过尝试，我知道要使裁后没有剩余，那么小正方形的边长必须既是长方形长的因数，又是长方形宽的因数，即是15和9的公因数，满足条件的只有1和3，所以正方形的边长最大是3厘米。

生2：我借助画图列出算式（如图4），算出最终一共裁得15个小正方形。

我继续出示变式题：“有两根圆木，第一根长20米，第二根长15米，把它们截成同样长的小段且没有剩余，每小段最多长多少米？一共截成多少小段？”受上一题的影响，学生直接想到求“每小段的长度”就是求“20和15的最大公因数”。可在巡视过程中我发现，部分学生在解决“一共截成多少小段”时，竟然列式为20÷5=4， 15÷5=3，  4×3=12（段）。可见，学生的脑海中并未建构起相应的模型，一旦脱离了直观图，形成算式的过程就会出现各种问题。“想一想，可以通过什么来验证你的结果是否正确呢？”在我的启发下，学生纷纷采用画图验证，得出“4×3是错误的，应该是4+3”的结论，并利用直观图（如图5）清晰地表述了思考过程。

为了让学生进一步理解数学本质，我再次引导观察比较：“这两道题有什么相同和不同之处？”学生经过交流讨论发现，相同的是，要想满足纸（圆木）没有剩余，所裁（截）正方形的边长（小段圆木的长度）最大（多）只能是长方形的长和宽（两根圆木的长度）的最大公因数;不同的是，小正方形是在长方形里裁的，沿着长方形的长裁决定一排有几个，沿着长方形的宽裁决定有几排，最后用乘法计算，而圆木有两根，应先求每一根能截成几段，再求两根一共截成的段数，要用加法计算。

从上述案例可以看出，为了避免学生受知识负迁移影响，教师要利用素材巧设对比，组织学生观察比较，凸显数学本质，从而深化学生的理解。

三、动态想象，凸显数学本质

学习“空间与图形”时，想象力较弱的学生很难在文字语言与图形语言之间建立联系，以及进行合理的转换，解题时往往停留于文字层的面。教学中，教师应寻找并建立恰当的新旧知识之间的联系，鼓励学生动态想象，在想象中完善认知。

例如，解决“一个底面周长是12.56厘米，高是3厘米的圆柱体沿底面半径平均分成若干小份，拼成一个近似的长方体，表面积比原来增加了多少平方厘米？”时，学生很难在短时间内捕捉到有价值的信息，这时，我改变以往先呈现直观图的方式，鼓励学生先想象动态的切、拼过程，继而用课件呈现直观图（如图6），验证想象。学生经历了想象的过程，在教师呈现动态图时，更容易找到解决问题的突破口——增加的表面积为两个长方形的面积之和，长方形的宽是圆柱底面的半径，长是圆柱的高。

为了让学生在脑海中形成一个完整的知识网络，我适时追问：“由圆柱的切、拼，你还能联想到什么？”学生很快回答：“可以沿着与底面直径垂直的方向切，分成两个半圆柱。”我引导学生想象这种切法，并以课件动态呈现（如图7），完善学生的想象，然后要求学生脱离直观模型在脑海中建构直观图，深刻理解“两个半圆柱的表面积比原圆柱的表面积增加了两个长方形的面积之和”， 继而又引导学生闭目想象、对比，发现与之前切、拼情况增加的面的本质不同，建构直观模型。

“关于圆柱因‘切引起的表面积变化，我还有不同的切法。”学生纷纷举手发言，如图8所示的切法应运而生。学生看到，切法不同，增加的面（表面积）也有所不同。在回顾、反思、想象、交流中，学生在脑海中建立起相应的几何模型，并能根据模型的不同变换想象到由于切的方向、次数不同，增加的表面积也有所不同。

从上述案例可以看出，在“空间与图形”的练习中，教师应该具有知识的整合能力，引导学生经历“根据文字动态想象—建构图形—联想对比”的学习过程，在想象中运用直观寻求它们的相同点和不同点，理解数学本质。

回顾以上几个教学案例，可以看到教学是一个不断反思、不断创新的过程。教师在钻研教材時，要关注每节课的数学本质，通过数学活动引导学生借助直观图，寻求知识之间的内在联系，在想象、分析对比中把握数学本质，感受数学的魅力。

（责编 李琪琦）