谈数学教学中学生合情推理能力的培养

苏丽卿

[摘 要]合情推理是从具体问题和情境出发，通过观察、实验等途径，结合经验进行推理，是小学阶段学生的主要推理形式。在数学教学中，教师应鼓励学生观察、归纳、猜想，逐渐培养学生的合情推理能力和创新思维，发展学生的数学核心素养，使学生在数学学习上获得更好的发展。

[关键词]学生;合情推理能力;培养;数学教学

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2019）09-0031-02

一、问题的提出

推理是由一个或几个已有的命题得出一个新命题的思维形式，通常把已有的命题叫作条件，把新命题叫作结论。推理能力的培养是数学教学的重要目标，而且《数学课程标准》中也指出“数学推理能力的培养应贯穿于整个数学学习过程”。

数学中的推理主要有演绎推理、合情推理两种形式。演绎推理是从一般的原理、已有的事实和确定的规则出发，推到一定特殊场合做出结论的判断。简言之，从一般到特殊的推理是演绎推理。合情推理是以一些特殊的对象为前提，凭借经验和直觉，通过归纳和类别等途径，推出一般原理的推理形式。也就是说，从特殊到一般的推理是合情推理。

学生的数学思维和数学能力是不断发展、不断增强的过程。同时，认知发展理论认为：“小学生的思维发展处于具体的运算阶段，即逐步从具体形象思维向抽象逻辑思维发展。”小学阶段，特别是小学低年级，学生的数学知识比较缺乏，数学思考离不开具体的对象，在数学学习活动中主要是通过观察、实验、归纳、类比等方法获取知识。因此，教师在教学中应引导学生积极思考、分析探究，发展学生的合情推理能力，这对于培养学生的数学能力、创新思维及数学素养有重要的意义。

二、合情推理的思维过程

数学有各种各样的猜想，如哥德巴赫猜想、费马猜想、地图四色猜想、歌尼斯堡七巧猜想等，吸引了大批数学家和数学爱好者为之努力、奋斗，有的甚至耗费毕生精力进行钻研。那么，合情推理的思维过程是怎样的呢？我们来看看哥德巴赫猜想是如何提出的。据说，哥德巴赫无意中观察到3+7=10、3+17=20、13+17=30，当他把这些式子写成10=3+7、20=3+17、30=13+17时，发现其中反映了一个规律，即偶数=质基数+质基数。于是，他产生了这样一个想法：“其他的偶数也有这样的规律吗？”对于偶数6，显然有6=3+3，接着有8=3+5、10=5+5、12=5+7、14=7+7、16=5+11……1000=29+971、1002=139+863……最后，哥德巴赫大胆猜想：“任何一个不小于6的偶数都等于两个质基数之和。”这是正确的吗？一直以来，不少数学家都在努力地证明这个猜想。由此可以看出，合情推理是从具体问题和情境出发，通过观察、实验等途径，结合经验进行推理。合情推理的思维过程可表示如下：

合情推理首先要有具体的情境，既包括与学生实际生活相联系的生活情境，又包括与学生已有知识紧密联系的数学情境，然后在观察、实验的基础上，结合经验提出问题、发现问题，通过归纳推理形成命题或猜想，最后证明或证伪。例如，圆的面积计算公式[S=πr2]，它涉及无理数[π]，而[π]是一个不可度量的数，因而小学阶段圆的面积计算公式的推导只能进行合情推理。也就是说，学生通过动手操作把圆分成若干等份，然后采用拼图的方式把圆转化为其他图形并进行想象和归纳，即通过合情推理获得圆的面积计算公式。

三、合情推理的常见形式

在形式逻辑中，推理有不同的表示形式。通常把一个推理表示为“条件[p]→结论[q]”，或表示为“[pq][↓]”。在演绎推理中，三段论结构是常见形式，它由两个前提和一个结论构成。如下：

归纳推理与类别推理是常见的合情推理形式，但归纳推理中的完全归纳法是一种严格的论证方法，不属于合情推理的范畴。合情推理的形式多样，波利亚较早地研究了数学中的合情推理，并提出了一些常见的模式。就数学归纳推理而言，波利亚认为基本的模式为“若[A]蕴含[B]，B为真，则[A]更可靠;若[B]蕴含[A]，[B]为假，则[A]较不可靠”。可用上属形式表示如下：

四、合情推理能力的培养

合情推理是通过经验和直觉、归纳和类比等活动推断出某些结果，在问题解决过程中的主要作用是探索思路、发现结论。波利亚认为：“数学家的创造性工作成果是论证推理，即证明，但这个证明是通过合情推理，通过猜想发现的;数学学习要反映数学发明的过程，就得让合情推理占有适当的位置。”史宁中教授也指出：“多年来，我国基础教育在学生思维能力的培养中，主要弱在了归纳能力的训练上，给创新性人才的成长带来了严重障碍。演绎的方法只能验证真理，而不能发现真理，运用演绎方法培养起来的演绎思维，只能进行模仿，而难以进行创造。”小学阶段是学生习得数学基础知识、基本技能、基本思想方法及积累基本活动经验的重要时期，学生原有的数学知识和经验相对薄弱，因此培养学生的合情推理能力尤为重要。

1.鼓励观察

观察能力的培养是小学数学教学的任务之一。观察力是智力活动的门户和源泉，是获取知识的重要途径。小学生好奇心强，但这种好奇是自发的、无序的，也是无法系统、准确地发现数学问题的，有时甚至是与课堂教学目标相反的。例如，教学加法交换律时，学生通过计算48+73=73+48，发现48+73=84+37，这与课堂预设的教学目标是不一致的。但是，教师不能简单地对学生的发现进行否定，而要顺着学生的思维，组织学生探究交流，使学生的数学学习兴趣更加浓厚。

2.鼓励归纳

在数学教学中，教师应从学生已有的知识和经验出发，引导学生结合实际生活，发现事物中隐含的简单规律，培养学生的归纳能力。例如，认识斐波那契数列时，引导学生探索其中隐含的规律或变化趋势;在《找规律》教学中，引导学生发现末尾有0的个数与因数中有0的个数之间的关系。也就是说，教师应从具体问题和情境入手，注重设计与学生生活、知识背景密切相關的数学问题，激发学生学习数学的兴趣。

3.鼓励猜想

数学猜想是指人们探索数学规律，发现数学知识的手段和策略。在日常的数学教学中，对于一些直观表征的内容，教师可以先不给出结论，而是引发学生的猜想，引导学生尽可能地从中得出结论。数学教学，特别是小学阶段的数学教学，教师要积极创设条件，让学生大胆猜想。数学教师的职责就是要善于运用各种有效的教学手段，把问题呈现给学生，激发学生的求知欲，使学生积极主动地去猜想、探究，获得新知。

总之，数学源于生活，用于生活，高于生活。因此，数学教学中，教师要紧密联系实际生活，从学生的生活经验和已有的知识出发，让学生感受到数学与生活之间的密切联系，体验到数学的广泛应用性;要让学生学会数学地思考问题，培养学生良好的观察、思考习惯;要培养学生发现问题和提出问题的能力，鼓励学生进行合情推理，使学生在数学学习上得到更好的发展。

（特约编辑 木 清）