一道数学题争辩引发的思考

杜丽彬

[摘 要]真理都是在争辩中产生的，真相越辩越明。在数学中，即便是一些看似幼稚可笑的问题，只要揪住疑点不放，展开辩论，总可以从各方的辩词中发现一些有价值的线索，沿着这些线索，往往可以发现重大价值。

[关键词]数学题;争辩;思考

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2019）08-0027-02

前阵子，笔者参加了一个数学教学研讨活动，在小组研讨环节，一位教师展示了一道期中考题，并在活动研训中征集解题的意见。这道题是这样的：

阅卷时，教师在第（1）问的解法选择上出现严重分歧，有的教师觉得，这台车从A地行至C地总耗时为4小时，速度应为：160[÷4=40]（千米/时）;有的教师持反对意见，认为小轿车半路驻车1小时，没有做有用功，也没有增加里程，这1小时不应算入总时长，于是，行驶时间应该扣减1小时，速度应为：160[÷]3=53[13]（千米/时）;还有的教师中和双方意见，提出折中处理法：如果驻车时间短就应算在内，如果驻车时间长则忽略不计。各方坚持己见，互不相让，几场论战下来，都找不出令众人信服的处理方案。

一、关于这道题的争议

这道题主要是让学生联系现实生活情境，整理分析出各个数量的函数关系，从而正确解题。上述争议题正好是相关内容的应用和延伸。学生观察示意图可知，小轿车从A地行至C地耗时4小时，半路驻车1小时，抵达C地后，就地熄火停车2小时，然后启动折返，耗时2小时。如果学生能够准确地描述出上述行车情况，则说明教学目标已经完成。

对于第（2）问求解“这台国产小轿车返程的平均速度”，教师的观点出奇的一致，即160[÷]（8-6）=80（千米/时）。教师始终对前进时途中驻车的1小时耿耿于怀，到底是算还是不算？这个问题一直盘踞在教师心中。

二、对争议问题中“1小时”的思考

笔者认为，向前进发时中途停驻的“1小时”不应算在行车时间内。

理由如下：

题目中要求解的是这台国产小轿车的平均速度，行车平均速度=驾车总行程[÷]行车时长。速度的物理意义是物体在单位时间内通过的路程，如果物体静止不动，没有发生移动，也就没有路程，则可认为没有速度，也就是速度为0。小轿车在半路停滞不前，这段时间轿车的路程为0，换言之，小轿车在这个时段内没有前移，那么在这段时间内轿车处于静止状态，也就没有速度，对此中途停驻的“1小时”应除外。

这是一个不值得争辩的“口水问题”。一位基础教育专家说过：“在当今的数学教学中，一些‘口水问题大量存在，这些毫无价值的问题会引发一定范围内的大辩论，而这些辩论几乎都是白费口舌，是一些上不了台面的口水仗。”上题中求轿车从A地行至C地的平均速度，就属于一个“口水问题”。出题者的初衷是想把“看图找关系”与计算平均速度糅合到一起，但由于设计得不周密，造成学生理解出现障碍，这是某些图文题设计的通病，看似别致有趣，充满新意，实则给学生准确捕捉图形信息制造困难。其实，数学学习的本质是理解基础概念，渗透基本的数学思想方法。在出题时，教师应该着重彰显问题的实质内容。

北师大版教材六年级上册总复习中有一道同类型题，教材的处理就非常巧妙，提问平均速度时，避开停船时间，提问行驶情况时，涉及停船时间，既实现了练习的目标，问题的提法又能直中要害，指向性强，为教师命题提供了很好的范本。题目如下：

12.下面是某艘游艇某日航行路程统计图。问：

三、争论后的反思

某道试题激起了业内的轩然大波，问题本身可能不值一提，于是冒出一种声音，说这个问题是毫无价值的问题，讨论这个是吃饱了撑的。这种论调，乍一听似乎不无道理，话糙理不糙，也确实出现过一些不入流的无聊问题引得大家争相研究，浪费了无数的时间和心血。若因此就断定这个是“无聊问题”，也无可厚非，但是具体情况得具体讨论，不可胡子眉毛一把抓，一概而论。道理是明摆的，科学上的重大发现都是源自对一些看似无聊透顶的问题的执拗研究而得出的，如“万有引力”就是牛顿从研究苹果为什么是落到地上而不是飞向天空而发现的，所以“无聊”的问题有时却可以发挥巨大能量。

以上题为例，求国产小轿车在某个时段内从A地到B地的平均速度，中间有1个小时因故驻车，这停留的1小时该不该计算在行车时间之内，用于计算小轿车的平均速度。两种观点相持不下，各方都有很充足的理由，于是为了平息纷争，调和矛盾，把枪口对准问题本身，指责这是个“无聊问题”。我们如果心平气和、实事求是地琢磨这个问题，还是会发现一些有价值的地方，例如小轿车连续不断地从A地行至B地，时快时慢很正常，路况好、人流少的地段高速行驶，路况不好、人流密集的路段低速行驶;遇到红灯，停车等待通行，塞车时更需怠速慢行，驾车过程中因为各种客观因素造成中途停滞非常常见，不能说停车1小时是大事，停半分钟就算了，归根结底，解答此类问题要考虑精确度。

若从A地行至B地耗时4小时，中途驻车就白白浪费了3个小时，汽车实际有效行进时间只有1个小时，那么在计算驾驶人的工作效率时就应仍然算作4小时;如果只是针对汽车的性能进行评估，则只能算1小时。若汽车中途只停了10分钟，其他时间持续行进，各路口红灯共计超过20分钟，但是求平均速度时并没有要求很高的精确度，30分钟的停止时间照样可以忽略。

数学本身很纯粹，如果放到具体情境中就会变得复杂起来，文中的讨论其实并不是无聊的争论，站的角度不同，立场不同，只要计算不出纰漏，都可以算作正解。我们总是说要建立模型，倡导算法多样化，这就是一个典型的计算有效行驶时间的简易模型，这个模型中蕴含不同的理解方式，主要取决于计算的精确度，精确度不同，方法也会不一样，结果亦五花八门。

[ 参 考 文 献 ]

[1] 董建勋，刘君.运用数形结合的思想解决初中数学中的行程问题[J].数学学习与研究，2018（18）：119.

[2] 张寅秋，袁俊.基于核心素養的小学习题课建设：以“行程问题”为例[J].教育教学论坛，2018（38）：237-238.

（责编 童 夏）