有意思的函数

张泽玲

1 数字“0”

数字“0”不过是一个非正非负的整数，在某些情况下需要单独讨论，好像没什么特别的。但实际上，它却有十分重要的意义。

在人类历史上，各个文明并不是一开始就意识到0的必要性。比如说汉字中的“零”被创造出来时意思是零星落下的雨滴，也就是只跟“整”相对，只表示“零碎”“不多”的意思，并非数学意义上的“零”。古希腊哲学家也觉得，既然“零”表示“没有”和“虚无”，那么好像也没必要用一个符号来表示。但随着人类文明的发展，各个文明都觉得十进制非常好用，但十进制的计数方法里如果没有零，就会变得非常麻烦。比如中国古代的算筹计数，只是把数字为0的地方空出来，但这样在抄写记录的时候很容易丢失混淆。“0”的字体发明始于印度，而关于这个数字的概念，则是很早在其他很多地区就有了：巴比伦人、埃及人、玛雅人以及印度人分别独立发明了“零”，并传播影响着别的古文明也来使用。等到计算机发明以后，0在二进制中比在十进制中还要重要。

0本身的意思是“没有”，但其对于数学的意义却是重大而深远的。缺失了0的数学，理论一定是有重大缺陷的。

2虚数i

说起虚数i的意义，可能你的第一反应就是-1的平方根，除此之外再无其他。其实很多数学家在发现虚数时感觉也和你一样。16世纪意大利米兰学者卡尔达诺在1545年发表的《重要的艺术》（Arsmagna）一书中，公布了三次方程的一般解法，被后人称之为“卡尔达诺公式”。他是第一个把负数的平方根写到公式中的数学家，尽管他认为这个表示是没有意义的，是想象的、虚无缥缈的。给出“虚数”这一名称的是法国数学家笛卡尔，他在《几何学》（1637年）中将其命名为nombreimaginaire（虚构的数），成为虚数（imaginary number，imaginary在英文里意思是“想象出来的”）一词的由来。

在虚数刚进入数的领域时，人们对它的用处几乎一无所知，实际生活中也没有用复数来表示的量，因而，最初人们对虚数的态度是怀疑而不肯接受的。莱布尼茨称虚数是既存在又不存在的两栖物。欧拉尽管用它，但也认为虚数是虚幻的。

测量学家维塞尔用a+bi表示平面上的点，让虚数有了用武之地。后来，高斯建立了复平面的概念，使复数有了真正的立足之地，从此虚数就跟着复数一起在表示向量上大显身手，在水力学、地图学、航空学中有着日益广泛的应用，后续还在物理理论中，尤其是电磁学中，扮演了重要的角色。

算筹

就是古代的一种十进制计算工具，起源于中国商代的占卜。

3 数学常数e

自然对数的底数e是个十分重要的无理数，但大多数人心目中最有名的无理数估计还是圆周率π和√2。这是因为，虽然e也会出现在很多公式中，但它并不是像π那样能够直接跟完美的圆形对应起来。事实上，对于e的定义有很多种，常见的四种e的定义如下：

上面这四个定义里出现的公式本身有着广泛的应用。正是因为e的独特性质，作为常数存在于很多基本公式，才使得它显得好像是自然中本身就存在的一样。很多数学家和工程师心目中最完美的欧拉公式，就是完美结合了e，π，虚数i和整数，不仅看起来整齐简洁，还在实际中有着重要的应用。前面提到过的非常万能的傅里叶变换，理论基础之一就是欧拉公式。

4无理数

根据勾股定理，两条直角边长度为1的直角三角形，其斜边的长度为√2。说起√2大家都不陌生，这是一个无限不循环小数，即无理数。然而正是这个简单的无理数，却引发了数学上的一个悲剧事件。

公元前5世纪的时候， 毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，世界上只有整数和分数（有理数）这种整齐而漂亮的数字。而毕达哥拉斯学派的门徒希帕索斯在研究勾股定理时却发现了令人震惊的“无限不循环小数”√2，令该学派其他人感到非常恐慌，并引发了第一次数学危机。有传言说最终希帕索斯被自己的老师毕达哥拉斯判决淹死，也有说法是被学派门人丢进海里淹死。

希帕索斯虽然遭此不幸，但并没能阻挡人类在数学理论中引入无理数。因为除了√2，我们还有更重要的无理数：圆周率π和自然对数的底数e。

毕达哥拉斯学派

发现勾股定理的古希腊数学家毕达哥拉斯和他的學生所组成的学派，他们非常崇尚数学。