个体观测次数与协变量个数都趋于无穷的二值数据GEE估计的渐近性质

孙 晗，尹长明，靳永涛

（广西大学数学与信息科学学院，南宁530004）

引言

广义线性模型（Generalized Linear Model，GLM）最早被Nelder和Wedderburn［1］于1972年所引进，用于解决因变量y取离散值的情况。而广义估计方程（Generalized Estimation Equation，GEE）是Liang和Zeger［2］在1986年的一篇具有开创性意义的文章中引入的，作为对广义线性模型相关数据的有用扩展，主要用于分析纵向数据（Longitudinal Data））或集团数据（Cluster Data）。而纵向数据一直是近些年来被研究的热点之一［3］。在应用中，广义估计方程被广泛应用于生物统计、临床试验、车险定价及理赔等领域。张敏等［4］在高血压研究案例当中，以高血压的四类并发症拟合四个常数项，构建广义估计方程，用以计算各并发症在基线水平上的发生概率。Wu等［5］通过收集中国高速公路出口坡道的四年碰撞数据来进行建模，将GEE与传统的GLM进行比较，发现前者可以很好地适用于碰撞频率数据。李静等［6］通过采用GEE方法建立了不同孕周的体重常模。康萌萌和刘素春［7］将GEE应用到车险定价中，与GLM相比，得到的变量更准确。除此之外，GLM和GEE不再仅限于二值数据，在多分类问题中业已广泛应用，详见文献［8－12］。

Wang［13］证明了在个体观测次数有限的情况下经典Logit广义估计方程估计的渐近性质。而随着时代的发展，对个体观测的次数会越来越多，甚至趋于无穷。因此，本文将观测次数由有限推广到了无限，在相近的条件下证明了经典Logit广义估计方程估计的渐近性质。

1 模型介绍

设在试验中对第i个个体的第j次观测，得到二进制响应变量Yij和pn维协变量Xij，其中i＝1，…，n；j＝1，…，m。对于来自不同个体的观测值，假设其相互独立，而来自相同个体的观测值则认为是相关的，但相关系数未知。令Yi＝（Yi1，…，Yim）T表示第i个个体的响应变量，并且Xi＝（Xi1，…，Xim）T为m×pn协变量矩阵。假设Ε（Yij，其中h的反函数g为联系函数（Link Function）。对于经典Logit模型来说，联系函数为，βn是一个pn维的参数向量。此外，有：

详细情况可参考文献［14－16］。

在应用中，工作相关矩阵的提出对于分析纵向数据具有重要的意义。但由于受到扰动参数τ的影响，工作相关阵并不容易得到，于是Xie和Yang［17］以及Balan和Schiopu－Kratina［18］假设τ已知，并提出一个非随机的正定矩阵并给出了估计方程：

式中，表示为的真实相关阵且为未知。

Wang［1］定 义 了GEE估 计 量的解，其中R＾是工作相关阵，并在一定条件下证明了协变量个数趋于无穷时β＾n的渐近性质。本文在其基础上将条件放宽，对个体观测次数也不再设置上限（即趋于无穷），并证明的渐近性质。本文不同位置的C代表不同正常数；对任意矩阵A＝（aij），范数为Frobenius范数［13］，即：

2 主要结果

为了后文定理叙述的简洁，引入以下假设条件［13］：

（A2）未知参数βn属于紧子集B⊆Rpn，真实参数值βn0是集合B的内点，且∃c1，c2＞0，使得c1≤λmin（Ai（βn0））≤λmax（Ai（βn0））≤c2，其中λmin，λmax分别表示矩阵的最小、最大特征值；

（A3）∃c3，c4＞0，满足：

定理1关于渐近存在性和相合性。对于经典Logit模型，假设（A1）～（A7）成立，则方程Sn（βn）＝0存在一个根β＾n，且β＾

n满足：

定理2关于渐近正态性。对于经典Logit模型，假设（A1）－（A7）成立，则，有：

3 定理的证明

关于定理的证明需要用到以下引理。

引理1式中：

ej为第j个元素、为1，其他均为0的m维列向量。引理2假设条件（A1）～（A5）成立，则：

引理3假设条件（A1）～（A5）成立，则∀Δ＞0，bn∈Rpn，有：

引理4假设条件（A1）～（A4）以及（A6）成立，则∀Δ＞0，bn∈Rpn，有：

引理5假设条件（A1）～（A5）成立，则∀Δ＞0，bn∈Rpn，有：

引理6设G是Rn中的有界开集，记G的闭包和边界分别是，∂G。若函数F→Rn是连续的，并且对某个x0∈G和所有的x∈∂G有（x－x0）TF（x）≤0，则F（x）＝0有一个根在中。参见文献［19］。

引理7假设条件（A1）～（A5）成立，则∀αn∈Rpn，αn＝1，有：

定

?理1的证明 由微分中值定理和引理1，可得：

式中，β*n在βn和βn0连线内。

首先估计In1。由引理2及（A7）可得：

其次估计In2，对求期望，即：

由（A1）－（A4）可知：

所以有：

对于In3有：

由引理3和（A6）可得：

由（A2）－（A4）可得：

而由引理4、引理5以及（A5）、（A6）可得：

由式（7）～式（12）可知In3≤－CΔ2pn，再由式（5）、式（6）可知：

最后，根据引理6可知式（5）成立，于是定理1得证。

定理2的证明 由定理1可知，Sn（β＾n）＝0。根据拉格朗日中值定理可得：

由（A2）、（A4）和式（1）可知，对于∀bn∈Rpn且bn≠0，

有：

则根据Rayleigh-Rize定理以及（A3）可知：

首先证明In1＝op（1）。由Cauchy-Schwarz不等式、引理1、

式（14）以及（A5）可得：

其次证明In2＝op（1），由于

故需依次证明Jni＝op（1），i＝1，2，3，首先证明Jn1＝op（1）。

以及（A5）可得：

同理，运用引理3、引理4，式（3）以及（A3）、（A6）可得：

由式（15）－（19）可得，In1＝In2＝op（1）。最后根据引理7，式（13）和Slutsky定理可知式（3）成立，即定理2得证。

4 实例分析

例1对于经典Logistic回归模型产生的纵向数据：

魏强强［20］通过随机模拟，产生了个体观测数n为20，每个个体观测值m为15次，且协变量维数pn为4的数据，根据Newton-Raphson迭代法选取初值βn0＝经过15次迭代收敛到β＾n＝，偏差较小。由此可得，当条件（A1）～（A7）成立时，有：

例2为了研究某种新型的治疗精神抑郁病药物是否有更好的疗效，某研究中心将其与标准药物进行对比，做了如下试验。该试验是由340位病人共同参与，并根据各个体抑郁症的严重程度进行划分，且每组分别被随机地指定服用新型药或标准药，分别记录个体接受治疗后在1、2和4周的情况，按精神抑郁的程度，各个体被划分为正常（N）或异常（A），具体数据见表1，数据来自Biometric Society。

表1 抑郁的三次响应对治疗和抑郁严重程度的交叉划分

表1给出了基于独立工作关联的GEE估计。而对于该数据来说，GEE估计等于通过经典Logit模型，将3×340＝1020个观测值当做非独立的观测，进而得到回归结果。通过运算分析可以得出抑郁严重程度、药物治疗方式以及时间都对正常响应具有实质影响。最初，两种药物的药效相似，均随着时间而增长，但新型药物的药效增长幅度更大。随着观测次数（周数）的增多，所得到的效果也会更加稳定。详细请参考文献［21］。由此可见，观测次数的适当增加，可使得试验结果更加理想。