亲历过程 丰富感知 有效建模——《倍的认识》课例研究

张丽琴

“倍”在小学数学里是一个重要概念，也是学生后续学习小数倍、分数（表示分率）、百分数、比等内容的基础。在学习“倍”之前，学生头脑中建构的是“加法结构”，是数量的合并与多少的比较。对两个量或多个量之间的比率关系问题的真正理解需要在学生头脑中建构起“乘法结构”，而“倍”的学习正是建构乘法结构的伊始。从“加法结构”到“乘法结构”，学生认知结构需要发生一定程度“质”的变化，“倍”的学习是发生质的变化的第一次机会，而认知结构的转变是学生学习的最大困难。那么，教学《倍的认识》如何有效突破难点？在探究与拓展环节，我们进行了尝试。

一、探究体验——理解“倍”

1.以“2倍”为本，建立“倍”的直观模型。

师：除了○比△多以外，它们之间还有什么关系？（生：△是○的一半。）

师：如果把3 个△看成1 份，○有这样的几份？（将6个○每3个1份圈出）

师：○的个数有这样的2 份，我们还可以说，○的个数是△的2倍。

课件出示：△的个数增加1个，○的个数增加2个。

师：现在○的个数是△的几倍？怎么想的？

师：继续增加△和○的个数，现在还能看出△的个数是○的几倍吗？

借助课件演示，组织学生交流发现：

生：每一组图中，○的个数都是△的2倍。

师：不管△和○的个数怎么变化，以第一行为标准量看成1 份，找到另一个量里有几个这样的标准量，我们就说○的个数是△的几倍。

课件演示：淡出实物，留下标准结构的模型。

标准量：

师：第一行有几个，第二行摆出2 个这么多，就说第二行是第一行的2倍。

教师先由“几个几”引出“倍”的概念，从“份”过渡到“倍”，再通过不断增加变换△和○的个数，组织学生观察比较，在变中抓不变，而这个不变，就是“无论如何变化，都要把标准量看成1份，另一个量里有几个这样的几份，就是几倍。借助丰富“2 倍”的形来理解抽象的“倍”，化无形为有形，帮助学生建立了标准结构的直观模型。

2.“变式结构”，解读“倍”。

课件出示小鸭小鸡情境图。

师：小鸭和小鸡可没有排好队，你能看出小鸡的只数是小鸭的几倍吗？

（结合学生作答,课件展示由实物→隐藏实物→只留下数据:8是4的2倍。）

师：图中还是2倍关系吗？为什么？

师：看来倍数关系要关注标准量1份的个数。

师：怎样改变，就会有2倍关系？

（结合学生的方法一一展示。）

师：又增加了几个苹果，你能找到几倍关系？

生：以4 个梨为标准，苹果的个数有这样的3份，所以是梨的3倍。

师：如果把梨的个数用一条线段表示，那么苹果的个数该怎么表示？

（教师结合学生的回答画图。）

师：如果第一排表示5本书，请问第二排表示什么？为什么？

师：你觉得第一排还可以表示什么？第二排又是多少呢？

由于学生初步认识“倍”，教学中运用清晰的直观结构帮助学生第一次建立“倍”的概念。但标准结构不能促进学生真正深入思考，因此，借助“变式结构”（乱而无序的鸡鸭图）、“错误结构”促进学生真正地观察发现、感知1 份作为标准量的重要性，在“变”中探寻2 倍关系，引出3 倍；再引导学生一步步把关注的对象从实物的比较过渡到数之间的比较，由于学生对2 倍的“形”有着较为充分的准备，很自然地过渡到“数”，对倍的认识也从感性上升到理性。

二、拓展应用——深化“倍”

1.猜测与发现。

课件出示：

梨：？个

师：猜一猜苹果的个数可能是梨的几倍？（学生回答2倍、3倍、6倍、1倍。）

（课件演示梨分别是1 个、2 个、3 个、6 个时，苹果和梨的倍数关系。）

师：1 倍是什么意思？1 倍关系时两种量有什么特点？（学生结合理解回答。）

（教师继续演示梨4个、苹果6个。）

师：现在还有倍的关系吗？

（学生的发现：苹果是梨的1 倍多2 个，1 倍多半倍，2倍少2个……）

师：今天我们研究的是整数倍关系，倍还可以是小数倍、分数倍，以后还会继续研究。

师：回顾刚才的猜想活动，为什么苹果的个数没有变，倍数关系却在变化呢？

生：标准量变了，总数与标准量的倍数关系也在变。

2.抽象与发展。

师：如果有60 个苹果，2 个梨，想一想，苹果的个数是梨的多少倍？（30 倍）我们还用圈一圈的方法圈出30份吗？

师：45和5之间有倍数关系吗？

生：45÷5=9，45是5的9倍。

通过开放的问题空间，在苹果的数量不变的情况下，引导学生猜测“梨有几个”，在猜测验证中探究“倍数发生变化的原因”，感受比的标准的重要性，潜移默化地渗透反比例思想；再通过延伸非整数倍，完善倍的认知体系。最后，去掉图形，只留下数字，问题素材无法使用圈、画等找倍的方法，将学生的关注点聚焦到两个数量的倍的关系上，在抽象与概括中深化理解了“倍是一个数除以另一数所得的商”，使学生在不断地对比与抽象中实现一次次理性的飞跃。