正弦定理的证法探讨

摘要：三角形是最简单的平面图形，我们从小学就开始研究它。至此，似乎我们可以骄傲地认为：我们已经深刻地认识了这个小小的图形。这种自大是很危险的！在这个简单的图形中还埋藏着无尽的宝藏，等待着我们前去发掘。让我们一起踏上惊险、刺激的寻宝之旅。

关键词：几何法;向量法;坐标系法;外接圆法

探讨一（几何法）：

1. 在Rt△ABC中，如图1，C为直角，A、B、C的对边分别为a，b，c。由锐角三角函数的定义，有sinA=ac，sinB=bc，因为两式中的c是相同的，

于是发现asinA=bsinB=c。因为C=90°，所以sinC=1。

上式可拓展为asinA=bsinB=csinC。

这就是我们要寻找的宝藏吗？它仅仅属于直角三角形，还是所有的三角形都有这一特点？可见探险之旅刚刚开始。

2. 在锐角△ABC中，

我们可以添加三角形的高，化归为直角三角形。如图2，CD是AB边上的高。在Rt△BCD中，CDa=sinB，有CD=asinB，在Rt△ACD中，有CD=bsinA，于是asinB=bsinA，

写成比例式asinA=bsinB。同理，添加BC边上的高，可得bsinB=csinC。

所以锐角三角形中，总有asinA=bsinB=csinC。

探讨二（向量法）：

△ABC是锐角三角形，如图3，过A作AD⊥AC，得到向量AD。

由于AB=AC+CB，

于是AD·AB=AD·（AC+CB）=AD·AC+AD·CB，

因此|AD|·|AB|cos（90°-A）=|AD|·|AC|cos90°+|AD|·|BC|cos（90°-C），

所以有csinA=asinC，得asinA=csinC。

同理，可得asinA=bsinB，于是有asinA=bsinB=csinC。

探討三（坐标法）：

建立直角坐标系，借助三角函数定义进行证明。在如图4所示的直角坐标系中，点B，C的坐标分别为B（ccosA，csinA），C（b，0）。

于是S△ABC=12bcsinA。

同理，S△ABC=12absinC=12acsinB，

从而可证明asinA=bsinB=csinC。

探讨四（外接圆法）：

通过△ABC的外接圆，将问题转化为直角三角形进行证明。

1. 若△ABC是锐角三角形，如图5甲，作直径BD与弦CD，则∠BCD=90°，可得a=2RsinD=2RsinA，于是asinA=2R，

同理有bsinB=2R，csinC=2R，

可得结论：asinA=bsinB=csinC=2R。

2. 若△ABC是钝角三角形，如图5乙，作直径BD与弦CD，则∠BCD=90°，同样可得：a=2RsinD=2Rsin（180°-A）=2RsinA，

同理有b=2RsinB，c=2RsinC，

于是asinA=bsinB=csinC=2R。（R为△ABC外接圆半径）

证明正弦定理时，无论使用何种方法，当三角形是直角三角形时，其关系都是显而易见的，只需找到锐角三角形和钝角三角形时的证明办法即可。

“近测高塔远看山，量天度海只等闲。古有九章勾股法，今看三角正余弦。”

作者简介：

李哲林，浙江省宁波市，浙江省宁波市五乡中学。