运用正余弦定理破解三解形问题

曾光

解三角形这部分知识是高考重点考查内容，每年都会有一道选择填空题，或一道解答题. 考查的形式主要分为两大类，第一类为直接给出边角，第二类给出一个等式. 总体来说第一类难度较第二类小. 虽然难度不算大，可是有些同学还是感到心里没底，尤其是遇到第二类有时能解对，但有时又解不出来. 归纳原因，还是对解题的规律没摸透. 下面我们一起来看看今年高考题中考查解三角形知识的题目，一起找到解题的规律.

第一类：已知条件直接给出边和角的值.

【思路】根据正余弦定理，对于三角形的三边三角，我们只要知道三个条件（不包括三角）就可以求其它的边和角，我们简称“知三求三”.

【2018年全国Ⅱ卷文7】 在△ABC中，BC=1，AC=5，则AB=（ 【小结】第一类的问题主要是根据已知条件合理選用正余弦定理解题，情况有以下四种：

已知两边和一边对角，求另一对角，用正弦定理.

已知两边和一边对角，求第三条边，用余弦定理.

已知两边和夹角，用余弦定理.

已知三边，求角，用余弦定理.

第二类：已知条件不给出边和角的值，而是给出含有边和角的等式，需要对这些等式进行整理化简后才能得到角和边的信息.

此类问题通常从两个解题思路入手：

【1】如果等式两边都有正弦函数，往往考虑运用正弦定理进行边角互换.

【2】如果等式出现三角形的三边的平方关系，可以考虑运用余弦定理进行化简.

【2018年全国Ⅰ卷文16】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，bsinC+csinB=4asinBsinC，b2+c2-a2=8，则△ABC的面积为________.

【分析】本题给出的两个条件等式都有明显的特点，bsinC+csinB=4asinBsinC，式子两边都有正弦函数，根据第一点思路，可以运用正弦定理进行边角互换. b2+c2-a2=8式子的左边是三边的平方关系，根据第二点思路，可以用余弦定理化简.

【2018年全国Ⅲ卷文11】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c. 若△ABC的面积则（      ）

【分析】已知条件出现了三角形的三边的平方关系，根据第2点思路，可以考虑用余弦定理进行化简，然后再观察.

【解析】根据余弦定理cos对比前面两个式子得sinC=cosC，因此C，答案选C.

【2018年北京卷文14】若△ABC的面积为2+c2-b2），且∠C为钝角，则∠B=_______;的取值范围是_________.

【分析】本题的已知条件同样出现了三角形的三边的平方关系，根据第2点思路，可以考虑用余弦定理进行化简，然后再观察.

【小结】两边的比例关系往往可以转化为角的关系求范围.

【2018年天津卷文16】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 已知bsinA=acos（

（Ⅰ）求角B的大小;

（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A-B）的值.

【分析】本题给出的条件等式两边皆有边，可运用正弦定理进行边化角。对于第二问，已知两边一角，可运用余弦定理求解.

【解析】根据正弦定理， bsinA=acos（B-）， 即 bsinA=

，所以sin（2A-B）=sin2AcosB-cos2AsinB=【总结】纵看以上今年6个涉及解三解形的高考题，分布在不同的试卷，范围广，有的是全国Ⅰ卷，有全国Ⅱ卷，也有北京卷浙江卷等，因此，熟练解决以上问题意义重大. 请同学们好好体会两类问题及其对应的解题思路！