高中数学立体几何问题解析方法分析

韩啸天

摘要：高中立体几何在我们学生的高考中占有较大的比重，是高考的必考知识点，近来立体几何已成为各大试题中的新宠。但在具体的试题解析中其题型复杂多样，对于我们学生来说解题时具有一定的难度，如何提升立体几何解题质量对我们学生来说至关重要。因此对于高中数学立体几何我们要全面掌握其解题技巧，从而提升解题质量。本文从函数思想和空间解题思想出发对高中数学立体几何的解题方法进行了全面的分析和探讨。

关键词：高中数学;立体几何;解题技巧;法向量

引言

从近年来的高考试题中分析可以看出，立体几何在高考试题中的出现的频率越来越高，且题型复多变，难度也在逐年增加，为我们的学习增加了一定的难度。立体几何对于空间想象能力较强的同学来说显得格外容易，但立体几何中涉及的定义、定理较多，且不同的解题思路，其解题方法存有较大的差距，因此我们在学习中一定要充分掌握相关知识，勤于练习，在解题中开发自己想象空间，准确把握解题技巧，从而实现立体几何能力的提升。

一、函数思想在立体几何中的运用

在立体几何的题型中常常会出现求距离的题型，这一类型的题属于立体几何中较难的题型，因为立体几何本身对我们的学生的想象能力就有一定的要求，同时解析几何方面的知识也有所涉及，如此在一定的程度上增了难度。我们在解决立体几何中的距离问题时，可借助函数知识来辅助解答，函数本身与图形就是与相联系的，因此在解析异面直线距离的问题时，我们首先要找出异面直线即面与面之间的最短距离，当我们无法找出这条直线时就借助函数来解决，建立函数假设x，列出相关函数，然后结合异面直线的范围，取最小值的x，如此异面直线的距离问题就可轻易解决了[1]。

例如，如图所示，AB是圆O的直径，PA是垂直于圆O的所在平面，点C是圆上的任意一点，设角BAC为α，PA=AB=2R，求异面直线PA与AC之间的距离。

解析，我们无法直接构建空间直角坐标系，那么就无法直接用法向量的方式来求解，那么这是就需要我们利用空间思维来进行转化，将所求得的PB与AC之间的距离转化为PB上任意一点与直线AC 之间距离，从而设定设定变量，构建函数，求出的最小值即为异面直线的距离。

解题步骤：取PB上任意一点M，让MD与AC垂直，并于点D相交，从而就可得出信息MH垂直于AB，MH也与面ABC垂直，设置函数，令MH=x，因此列出函数关系式MD2=X2+[（2R-X）sinα]2，对函数进行进一步解析，求得结果，取最小值。因此我们在进行立体几何解析时可将距离问题转变为函数的最大值最小值问题，从而简化了解题步骤。

二、利用空间几何解题思想解析立体几何问题

将高中的空间几何图形其平行关系概括为面与面平行、線与线平行、面与线平行，垂直关系可概括为面与面垂直、线与线垂直、面与线垂直，这些都可以借助向量的关系进性转化。很多时候我们采用立体几何的方法来证明垂直会有一定的难度，但通常情况下我们可以建立空间直角坐标系。我们可以利用空间坐标标注立体几何的位置，如（x1，x1，z1），在试题中如果想要证明线与面的垂直我们可以先分别解出直线的方向向量与面的法向量，通过证明法向量与方向响亮的平行来得出面和线的垂直[2]。

例题，平面α的法向量为，直线l的方向向量为，两条直线l1和l2的方向向量分别为1与2，平面α1与α2的法向量为1与2，那么以上向量关系可以表示为：l1平行于l2推导出1平行与2推导出n2=k1，k（线与线的平行）、l平行于α推导出垂直于或者是与α内的两个相交向量1与2（线与面的平行）、α1平行于α2可推导出1平行于2推导出2=k1，k（面面平行）;l垂直于α可推导出平行于推导出=k，k（线面垂直）、l1垂直于l2推导出1垂直于2推导出1·2=0（线与线的垂直）、α1与α2推导出1垂直于2推导出1·2=0（面与面的垂直）

三、利用几何思想分析空间图形间的距离和夹角

立体几何图形的解题过程中认真审题也是解析的过程，很多时候题干中会隐藏很多信息，如在题目给出的距离和夹角，我们通过认真分析即可发现其中很多夹角和线段距离都是相等的，很多时候并不是题干中直接给出的，而是我们通过已知条件去推理，只要稍作证明即可获取我们所需的条件。例如，P为平面α外的一点，A为平面α内的任意一点，平面α的法向量为1，那么PA与α之间的夹角β=sinθ=COS（，1），根据推导可知夹角即为在1上的投影的绝对值。在高中数学空间立体几何题型中处理距离和夹角的问题，首先需通过计算平面外的一点与平面之间距离，然后再计算两异面直线之前距离，从而转变思想获得新的解题方法。如果碰到立体几何中的动态问题，在解析时首先运用函数的思想来解决，一旦碰到几何角度的问题就要顺着动态的角度来借助空间几何思想解题，如此即使几何中的问题由复杂变得相应简单起来。

四、学会化曲为直来解决立体几何问题

在立体几何的解题中我们常常发现立体几何所给题目中的图形较为复杂，且其中条件较多，这无疑增加了立体几何的题型的难度，但通过实际解析过程我们发现某些题型中的一些已知条件可以简化，同时在解题时要学会运用化曲为直来解决立体几何问题。直线上某个移动的点为P，求该点到点0两点之间的距离和最小值的题型。当我们遇到这种题型时，我们首先要简化已知条件和图形，画出其中的直线，然后再根据简化的图形来求解。

结语

高中立体几何对我们学生来说既是学习的重点同时也是难点，为了在高考中做好充分的准备我们学生在日常的学习中要注意技巧的掌握，通过习题的练习从而打下坚实的基础，对于简单的题型争取不丢分，对于较难的题型要合理选择方式技巧，通过在解题中运用函数思维、空间几何思维将一些难题转化为向量、函数的解析方式，从而简化解题方法，提升解题质量。

参考文献：

[1]史洪波.高中数学立体几何问题的解析方法探讨[J].课程教育研究，2014（04）：150-151.

[2]杨涌.高中数学中立体几何问题的两种解析方法[J].中国新技术新产品，2009（14）：248.