有界域上含线性阻尼的二维g-Navier-Stokes方程解的拉回渐近性

王小霞，高 聪，任 交，李 哲

(延安大学数学与计算机科学学院，陕西延安716000)

自从 2005年Roh J发表了《Dynamics of th g-Navier-Stokes equations》后，十多年来，有关g-Navier-Stokes方程的研究成果越来越多(文[1-6])。如Kewk M和Kwean H等研究了二维g-Navier-Stokes方程的吸引子维数；Jiang 和Hou等人研究了全空间上二维g-Navier-Stokes方程的整体吸引子存在性；Delin Wu等研究了二维g-Navier-Stokes方程指数吸引子的存在性问题。本文在此基础上，研究了含线性阻尼的二维g-Navier-Stokes方程的解的拉回渐近性问题。

含线性阻尼的二维g-Navier-Stokes方程的一般形式如下：

在Ω×(0,)；

(1)

u(x,t)=0,在∂Ω；

u(x,0)=u0(x)，在∂Ω。

这里u(x,t)∈R2和p(x,t)∈R表示速度和压力，f(x,t)是和时间有关的外力项，α代表线性阻尼，αu是与速度场平行的阻尼项，0

方程(1)等价于下面方程

(2)

u(0)=0,这里Ag:Vg→Vg是g-Stokes算子。

1 相关定义

定义1[7]设X是一个度量空间，若X中的集族{U(t,τ):X→X}(-<τ≤t<+)满足下列条件：

(1)U(τ,τ)x=x，τ∈R,∀x∈X;

(2)U(t,τ)=U(t,s)U(s,τ),∀τ≤s≤t,τ∈R。

则称集族{U(t,τ)}是X中的一个过程。

(1)P(∪τ<τ0U(t,τ)D(τ))在X中有界；

(2)‖(I-P)(∪τ<τ0U(t,τ)D(τ))‖<ε，这里P:X→X1是一个有界投影。

2 主要结果

定理1[7]设X是一个巴拿赫空间，U(t,τ)是X上的一个强弱连续过程，如果满足下列条件：

(2)U(t,τ)满足拉回条件(C)。

另设u(x,t)∈L

C(R+,Hg),(∀t>0)是方程的弱解，则

∀t∈T,设σ=υλ1,有

证明设方程的解是u(x,t)，因为

〈f-vAgu-αu-Bu-vRu,u〉=

〈f,u〉-v‖u‖2-α|u|2-

令σ=vλ1，由Gronwall引理

|u(t)|2≤|u0|2e-λ1m0(t-τ)+

|u0|2e-λ1m0(t-τ)+

|u0|2e-λ1m0(t-τ)+

若方程的强解为：

u(x,t)∈L

则∀t≥τ，可得下列结论成立：

‖u(t)‖2≤‖u(τ)‖2e-λm(t-τ)+

证明首先用-Δu(t)乘以方程两边可得：

α(u,-Δu)-(Bu,-Δu)-v(Ru,-Δu)。

根据Young′s不等式知：

2〈f,-Δu〉-2α(u,-Δu)-2(Bu,-Δu)-

2v(Ru,-Δu) ≤|f|2+|Δu|2+α|u|2+

α|Δu|2+2|(Bu,-Δu)|+

2v|(Ru,-Δu)|≤|f|2+|Δu|2+

2v|Ru‖Δu|。

由Poincare不等式得：

|f|2。

由Gronwall′s引理可得：

‖u‖2≤‖u(τ)‖2e-λm(t-τ)+

‖u‖2≤‖u(τ)‖2e-λm(t-τ)+

‖u‖2≤‖u(τ)‖2e-λm(t-τ)+

引理3[4]设Hg是Hilbert空间，其一组正交基为{Wi}i∈N。

其中Pm:Hg→span(w1,…,wn)为正交投影。

证明因为-Δ-1是Hg中的连续的紧算子，由谱算子定理，必存在一个序列{λj}j=1,0≤λ1≤λ2≤…≤λi≤…≤λj→0,当j→。

设Vm=span{w1,w2,…,wn}⊂Vg，

正交投影Pm：Vg-Vm，

∀u∈D(-Δ),令

u=Pmu+(1-Pm)u=u1+u2。

在Hg中取-Δu2，与方程(2)两边做内积

(B(u),-Δu2)+v(Ru,-Δu2)=(f,-Δu2)。

利用Young′s不等式

|B(u),-Δu2|≤|(B(u1,u1+u2),-Δu2)|

+|(B(u2,u1+u2),-Δu2)|≤

其中

|(Ru-Δu2)| ≤|Ru|·|Δu2|≤

2(B(u),-Δu2)-2v(Ru,-Δu2)-

利用Gronwall引理，可得：

‖u2‖2≤‖u2(t0+1)‖2e-vλm+1α(t-(t0+1))

‖u2(t0+1)‖2e-vλm+1α(t-(t0+1))+

‖u2(t0+1)‖2e-vλm+1α(t-(t0+1))+

由引理3，∀ε>0,当取m+1充分大时，

‖u2(t0+1)‖2e-vλm+1α(t-(t0+1))≤

故有‖u2(t)‖2≤ε，∀t≥t2。

则Vg中的过程族{U(t,τ)}满足拉回条件(C)，故定理2成立。