一个包含勾股数的三元变系数Euler函数方程的可解性

申江红，高 丽，惠佳豪

(延安大学数学与计算机科学学院，陕西延安716000)

对于任意的正整数n，Euler函数φ(n)定义为在序列1，2…n-1中与n互素的整数的个数[1]。Euler函数是数论中的一个重要的函数，Euler函数方程的可解性也是数论方向的重要研究领域之一，近期文献[2-10]讨论了k的不同取值下二元欧拉方程φ(mn)=k(φ(m)+φ(n))的可解性的问题；文献[11-13]分别讨论了当k=3，4，5时，三元欧拉方程φ(abc)=k(φ(a)+φ(b)+φ(c))的全部正整数解；对于文献[14]，张四保讨论了方程φ(xy)=k1φ(x)+k2φ(y)的可解性。本文基于杨张媛[15]讨论的三元变系数欧拉方程φ(abc)=φ(a)+2φ(b)

+3φ(c)的全部正整数解，讨论了一个包含勾股数及完全数的三元变系数Euler函数方程

φ(abc)=3φ(a)+4φ(b)+5φ(c)-14

(1)

的可解性，并给出了该方程的19组正整数解。

1 相关引理

引理1[8]若正整数n=p1r1,p2rk，其中p1,p2，…pk为素数，则欧拉函数

引理2[8]对于任意的正整数m与n，有

显然，若(m,n)=1，则有

φ(mn)=φ(m)+φ(n)。

引理3[8]当n≥2时，有φ(n)

引理4 在Euler函数方程φ(abc)=k+lφ(c)中，若φ(ab)≥k+l+1，则该方程无正整数解。

2 定理及其证明

定理方程(1)有解：(a，b，c)=(9，1，3)，(9，2，3)，(7，1，15)，(7，1，20)，(7，1，24)，(9，1，20)，(7，1，30)，(15，1，3)，(24，1，3)，(15，1，6)，(30，1，3)，(15，2，3)，(11，1，5)，(11，1，8)，(11，1，10)，(11，1，12)，(12，1，3)，(5，3，4)，(5，4，3)。

证明对于欧拉函数方程

由引理3，所以φ(abc)=3φ(a)+4φ(b)+

5φ(c)-14≥φ(a)φ(b)φ(c)，

(2)

即：φ(abc)=3φ(a)+4φ(b)-14≥

(φ(a)φ(b)-5)φ(c)≥φ(a)φ(b)-5，

故有 (φ(a)-4)(φ(b)-3)≤3。

(3)

下面根据φ(a),φ(b)的不同的取值分4种情况进行讨论。

情形一：当(φ(a)-4)(φ(b)-3)<0时，则有φ(a)≥6,φ(b)=1,2或者φ(a)=1,2,φ(b)≥4。

1 当φ(a)≥6,φ(b)=1时，此时

φ(abc)=3φ(a)+5φ(c)-10≥φ(a)φ(b)，即：(φ(a)-5)(φ(c)-3)≤5。

(4)

1.1 当φ(a)=6,φ(b)=1时，带入(4)式得

φ(c)≤8，即φ(c)=1，2，4，6，8。

当φ(c)=1时，φ(abc)=13为奇数，此时(1)式不成立。

当φ(c)=2时，φ(abc)=18，abc=19，27，38，54。

由于a=7，9，14，18；b=1，2；c=3，4，6，此时(1)式有解(a，b，c)=(9，1，3)，(9，2，3)。

当φ(c)=4时，φ(abc)=28，abc=29，58。

由于a=7，9，14，18；b=1，2；c=5，8，10，12，此时(1)式无解。

当φ(c)=6时，φ(abc)=38(不存在)，此时(1)式无解。

当φ(c)=8时，φ(abc)=48，abc=104，105，112，130，140，144，156，168，180，210。

由于a=7，9，14，18；b=1，2；c=15，16，20，24，30，经检验此时(1)式有解：

(a，b，c)=(7，1，15)(7，1，20)，(7，1，24)，

(9，1，20)，(7，1，30)。

1.2 当φ(a)=8，φ(b)=1时，带入(4)式得

φ(c)≤4，即φ(c)=1,2,4。

当φ(c)=1时，φ(abc)=19为奇数，此时(1)式不成立。

当φ(c)=2时，φ(abc)=24，abc=35，39，45，52，56，70，72，78，84，90，

由于a=15，16，20，24，30；b=1，2；c=3，4，6，此时(1)式有解(a，b，c)=(15，1，3)，(24，1，3)，(15，1，6)，(30，1，3)，(15，2，3)。

当φ(c)=4时，φ(abc)=34(不存在)，此时(1)式无解。

1.3 当φ(a)=10,φ(b)=1时，带入(4)式得φ(c)≤4，即φ(c)=1，2，4。

当φ(c)=1时，φ(abc)=25为奇数，此时(1)式不成立。

当φ(c)=2时，φ(abc)=30,abc=31，62，

由于a=11，22；b=1，2；c=3，5，6，经检验此时(1)式无解。

当φ(c)=4时，φ(abc)=40，abc=41，55，75，82，88，100，110，132，150，

由于a=11，22；b=1，2；c=5，8，10，12，经检验此时(1)式有解(a，b，c)=(11，1，5)，(11，1，8)，(11，1，10)，(11，1，12)。

1.4 当φ(a)≥12,φ(b)=1时，带入(4)式得φ(c)≤2，即φ(c)=1,2。

当φ(c)=1时，φ(abc)=3φ(a)-5为奇数，此时(1)式不成立。

当φ(c)=2时，φ(abc)=3φ(a)≥2φ(a)，得

φ(a)≥0，与φ(a)≥12矛盾，此时(1)式无解。

2 当φ(a)≥6,φ(b)=2时，此时：

φ(abc)=3φ(a)+5φ(c)-6≥φ(a)φ(b)

(5)

2.1 当φ(a)=6,φ(b)=2时，带入(5)式得

φ(c)≤12，即φ(c)=1，2，4，6，8，10，12。

当φ(c)=1时，φ(abc)=17为奇数，此时(1)式不成立。

当φ(c)=2时，φ(abc)=22，abc=23,46。

由于此时a=7，9，14，18；b=3，4，6；c=3，4，6，经检验此时(1)式无解。

当φ(c)=4时，φ(abc)=32，abc=51，64，68，80，96，102，120。

由于a=7，9，14，18；b=3，4，6；c=5，8，10，12，经检验此时(1)式无解。

当φ(c)=6时，φ(abc)=42，abc=43，49，86，98。

由于a=7，9，14，18；b=3，4，6；c=7，9，1，4，18，经检验此时(1)式无解。

当φ(c)=8时，φ(abc)=52，abc=53，

由于a=7，9，14，18；b=3，4，6；c=15，16，20，24，30，经检验此时(1)式无解。

当φ(c)=10时，φ(abc)=62(不存在)，此时(1)式无解。

当φ(c)=12时，φ(abc)=72，

abc=73，91，95，111，117，135，146，148，152，182，190，216，222，228，234，252，270，

由于a=7,9,14,18；b=3，4，6；c=13，21，26，28，36，42，经检验此时(1)式无解。

2.2 当φ(a)=8，φ(b)=2时，带入(5)式得

φ(c)≤6，即φ(c)=1，2，4，6。

当φ(c)=1时，φ(abc)=23为奇数，此时(1)式不成立。

当φ(c)=2时，φ(abc)=28,abc=29,58。

由于a=15，16，20，24，30；b=3，4，6；c=3，4，6，经检验此时(1)式无解。

当φ(c)=4时，φ(abc)=38(不存在)，此时(1)式无解。

当φ(c)=6时，φ(abc)=48，abc=104，105，112，130，140，144，156，168，180，210。

由于a=15，16，20，24，30；b=3，4，6；c=7，9，14，18，经检验此时(1)式无解。

2.3 当φ(a)=10,φ(b)=2时，带入(5)式得φ(c)≤4，即φ(c)=1,2,4。

当φ(c)=1时，φ(abc)=29为奇数，此时(1)式不成立。

当φ(c)=2时，φ(abc)=34(不存在)，此时(1)式无解。

当φ(c)=4时，φ(abc)=44，abc=69,92,138。

由于a=11，22；b=3，4，6；c=5，8，10，12，经检验此时(1)式无解。

2.4 当φ(a)=12,φ(b)=2时，带入(5)式得φ(c)≤4，即φ(c)=1,2,4。

当φ(c)=1时，φ(abc)=35为奇数，此时(1)式不成立。

当φ(c)=2时，φ(abc)=40，abc=41，55，75，82，88，100，110，132，150，

由于a=13，21，26，28，36，42；b=3，4，6；c=3，4，6，此时(1)式无解。

当φ(c)=4时，φ(abc)=50(不存在)，此时(1)式无解。

2.5 当φ(a)=14(不存在)，φ(b)=2时，此时(1)式无解。

2.6 当φ(a)≥16,φ(b)=2时，带入(5)式得φ(c)≤2，即φ(c)=1，2。

当φ(c)=1时，φ(abc)=3φ(a)-1为奇数，此时(1)式不成立。

当φ(c)=2时，φ(abc)=3φ(a)+4≥4φ(a)，得φ(a)≤4与φ(a)≥16矛盾，此时(1)式无解。

3 当φ(a)=1,φ(b)≥4时，φ(abc)=4φ(b)+5φ(c)-11即φ(abc)为奇数，此时(1)式无解。

4 当φ(a)=2,φ(b)≥4时，此时φ(abc)=

3φ(a)+5φ(c)-8≥2φ(a)φ(b)

(6)

4.1 当φ(a)=2,φ(b)=4时，带入(6)式得

φ(c)≤2，即φ(c)=1,2。

当φ(c)=1时，φ(abc)=13为奇数，此时(1)式不成立。

当φ(c)=2时，φ(abc)=18,abc=19，27，38，54。

由于a=3，4，6；b=5，8，10，12；c=3，4，6，经检验此时(1)式无解。

4.2 现令φ(b)=2n(n=3，4，5…)，有(4n-5)φ(c)≥8n-8，即：φ(c)≤2，得φ(c)=1,2。

此时：当φ(c)=1时，φ(abc)=4φ(b)-3为奇数，此时(1)式不成立。

当φ(c)=2时，φ(abc)=4φ(b)+2≥4φ(b)，即φ(b)取任意值不等式都成，与前提φ(b)≥4矛盾，故此处对φ(b)≥6的情况不再讨论。

情形二：当(φ(a)-4)(φ(b)-3)=0时，则有φ(a)任意取值，φ(b)=3(不存在)或者φ(a)=4,

φ(b)任意取值。

1.当φ(a)=4,φ(b)任意取值，有

φ(abc)=4φ(b)+5φ(c)-14≥4φ(b)φ(c)。

1.1 当φ(c)=1时，φ(abc)=4φ(b)+3为奇数，此时(1)式无解。

1.2 当φ(c)=2时，φ(abc)=4φ(b)+8≥

8φ(b)，即：φ(b)≤2，得φ(b)=1,2，当φ(b)=1时，φ(abc)=12，abc=12，21，26，28，36，42，

由于a=5,8,10,12；b=1,2;c=3,4,6,此时(1)式有解(a，b，c)=(12，1，3)。

当φ(b)=2时，φ(abc)=16，abc=17，32，34，40，48，60，

由于a=5，8，10，12；b=3，4，6；c=3，4，6，此时(1)式有解：(a，b，c)=(5，3，4)，(5，4，3)。

1.3 现令φ(c)=2n(n=2，3，4…)，有

(4n-1)φ(c)≥5n-1，即：φ(c)<1(不存在)，

故此处对φ(c)≥4的情况不再讨论。

情形三：当(φ(a)-4)(φ(b)-3)=1时，则有φ(a)=5(不存在)，φ(b)=4，此时(1)式无解。

情形四：当(φ(a)-4)(φ(b)-3)=2时，对2的所有因子进行讨论：

1 当φ(a)-4=1，φ(b)-3=2，得：φ(a)=5(不存在)，φ(b)=5(不存在)，此时(1)式无解。

2 当φ(a)-4=2，φ(b)-3=1，得：φ(a)=6，φ(b)=4。

此时φ(abc)=20+5φ(c)≥24φ(c)，得φ(c)=1，则φ(abc)=25(不存在)，此时(1)式无解。

3 结论

Euler函数φ(n)是数论中的一类极其重要的函数，有关此类方程的解的研究也是数论方向的活跃课题之一。本文给出了一个含勾股数及完全数的三元变系数Euler函数方程φ(abc)=3φ(a)+4φ(b)+5φ(c)-14的所有解。