一类分数阶基尔霍夫方程的无穷多解*

张申贵

(西北民族大学数学与计算机科学学院, 甘肃 兰州 730030)

在研究弹性弦自由振动问题时，德国物理学家Kirchhoff 推广了经典的达朗贝尔波方程，并建立了如下形式的方程

(1)

(2)

其中a，b为正常数。该方程可以更加精确的描述细菌在特定区域内的传播过程,u表示种群密度, 参见文献[1]，其对应的稳态方程为

(3)

近年来, 学者们开始利用变分方法和临界点理论研究问题(3)的可解性[2-8]。另外, 在文献[9]中, Fiscella 和 Valdinoci 研究了一类分数阶基尔霍夫模型, 并且详细地讨论了分数阶基尔霍夫型方程的物理意义。本文中, 利用临界点理论研究分数阶基尔霍夫方程 Dirichlet 边值问题

(4)

设0

本文中，在不同于(AR)的超线性条件下, 我们将利用临界点理论中的喷泉定理[19]得到问题(4)无穷多高能量解的存在性定理。

1 准备知识

变指数分数阶Sobolev 空间的性质, 见文献[20-21]。

其中S(Ω)为可测的实值函数集合，其范数为

|u|Lq(x)(Ω)=|u|q(x)=

记变指数分数阶Sobolev 空间为

[u]s,p(x,y)=

引理2[20]线性有界算子J定义为:

∀u,v∈W0

引理4[19](喷泉定理)设X为Banach空间，X=Zk⊕Yk，dimYk<+∞。若泛函I∈C1(X,R),满足:I(0)=0，I(u)=I(-u)，且

(i)泛函I满足(C)条件，即

对任何点列{un}⊂X，由{I(un)}有界，(1+||un||)||I′(un)||→0(n→+∞)，蕴含{un}有收敛子列；

则泛函I有一列趋向于+∞的临界值。

2 主要结果

称u∈W0是问题(4)的弱解指：对∀v∈W0，有

在W0上定义能量泛函I如下：

其中

则I∈C1(W0,R)，且

[I′(u),v]=(a+bψ(u))·

则u∈W0是问题(4)的(弱)解等价于u是泛函I的临界点。

假设以下条件成立：

(F3) 设F(x,0)=0，F(x,s)=F(x,-s)，对所有x∈Ω和s∈R成立。

本文的主要结果如下：

定理1 设条件(F0) (F1) (F2)和(F3)成立，则问题(4)有一列解{uk}k∈N满足：当k→+∞时，有I(uk)→+∞。

证明下面利用喷泉定理(引理 4)证明定理 1。

第1步证明泛函I满足(C)条件。设{un}⊂W0为能量泛函I的(C)序列，那么

|I(un)|≤c3，(1+||un||)||I′(un)||≤c3

(5)

首先，证明{un}在空间W0中有界，反设{un}在W0中无界，则当n→+∞时，有

(6)

(7)

利用Hölder不等式和式(7)，有

(8)

(9)

所有x∈Ω和u∈R成立。由条件(F0)，(F2)，式(9)，有

(10)

(11)

结合式(10)，式(11)，有

(12)

由式(6)，式(12)，当n→+∞时，有

(13)

结合式(8)，式(13)，当n→+∞时，有

(14)

当n充分大时，利用条件(F2)，式(11)，有

(15)

(16)

[I′(un),un]=

(17)

由式(5)，式(6)，式(16)，式(17)，当n→+∞时，a≤0，这与a>0矛盾，故{un}在W0中有界。

注意到W0是自反的 Banach 空间，则存在u∈W0，使得{un}在W0中弱收敛于u，且{un}在Lβ(Ω)中强收敛于u，其中p-≤β

(18)

∀u,v∈W0

由引理 2，{un}在W0中强收敛于u，故泛函I满足条件(C)。

记γk= sup{|u|β:u∈Zk,|u|=1}，其中|u|β为Lβ(Ω)的范数，则当k→+∞时，有γk→0[20]。

对于

由式(9)和引理1，有

第3步证明泛函I满足引理4中条件(iii)。

由条件(F1)和式(9)，对于∀ϑ>0，存在c7>0，使得

(19)