“一图多变”证“全等”

王炳奎

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2019）05-0141-01

证明两个三角形全等是学习几何证明的基础，初步培养学生的推理论证能力，提高解决问题的能力。所以，作为一名教师，在传授知识的同时，通过“一图多变”证“全等”的教学，激发学生的学习兴趣，培养学生的论证能力，发展学生的求异思维能力。下面以一个十分熟悉的基本图形为例：

基本图形：如图1，B，C，E在一条直线上，△ABC，△CDE都是等边三角形。求证：AE=BD。

分析：本题关键是把证明线段相等转化为证明全等三角形。在复杂的图形中，通过仔细观察找出两个全等三角形：△ACE，△BCD.根据等边三角形的性质：三边相等，三角都是60°等知识，可证明△ACE≌△BCD，得到AE=BD。

本题主要考查等边三角形的性质及全等三角形的判定方法。

证明：∵ △ABC，△CDE都是等边三角形

∴ AC=BC

CE=CD

∠ACB=∠DCE=60°

∴ ∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD

即∠BCD=∠ACE

∴△ACE≌△BCD

∴AE=BD.

变式图形：若B，C，E不在一条直线上，其余条件不变的情况下，如图2，AE和BD还会相等吗？并说明理由。

分析：在复杂的图形中，通过仔细观察，不难发现还是有基本图形：△ACE≌△BCD，从而得到AE=BD。

拓展变式：若将图1中的两个等边三角形演变为两个正方形：如图3，四边形ABCD，四边形CEFG都是正方形。求证：BG=DE。

分析：虽然两个等边三角形演变成两个正方形，那么根据正方形的性质：四条边都相等，四个角都是直角，很容易证明基本图形：△BCG≌△DCE.体现“变换中寻求不变”的思维方式。

变式图形：如图4，若B，C，E不在一条直线上，其余条件不变，BG和DE还会相等吗？并说明理由。

分析：通过对上面三种情况的分析解答，归纳出了共同的解题规律：寻找基本图形，即两个全等三角形.所以，本题同样是证明△BCG≌△DCE，得到BG=DE。

深度探究：通过对图4的学习，一些学生还发现：BG和DE还存在着特殊的位置关系，即BG⊥DE。

感悟提升：本节课，在知识上，让学生掌握等边三角形和正方形的性质，全等三角形的判定方法，并学会运用。在方法上，通过引导、探究等课堂活动，让学生发现一些解题规律，有效地促進学生的知识建构。在思维能力上，让学生经历由特殊到一般的过程，体验“变中挖掘不变”的思维本质。

总之，通过进行有效的变式教学，注重多样性，有助于学生将知识融会贯通，挖掘出一些重要的解题规律，提升学习数学的能力.让学生感悟数学的本质，提高学习效率，巩固所学知识，实现习题的数学价值，形成和发展数学素养。