基于啮合理论的双螺旋转子接触线计算研究

陈 飞，魏碧霞

（福州大学至诚学院，福建 福州350002）

双螺杆压缩机的阴阳转子作为整个压缩机中最重要的零件，它的性能对双螺杆压缩机的性能有着决定性的影响[1]。双螺杆压缩机转子间的接触线，是阴、阳转子在啮合运动时，两个共轭齿面的交线。接触线的长度会在很大程度上会影响双螺杆压缩机的热力性能，接触线设计不当，会影响螺旋转子本身的力矩分布和轴承负载，也会造成压缩机的泄漏损失。实验证明，双螺杆压缩机的所有泄露损失中，大部分是由于接触线的泄漏引起的损失。因此，研究双螺旋转子接触线的计算就显得尤为重要。其中，计算两个啮合转子间的接触线的总长度，是判断转子端面型线优劣的一个重要指标，是新型线研究和开发过程中的一个必不可少的计算项目[2]。由于双螺旋转子之间存在相对运动，因此要研究阴转子和阳转子在满足啮合条件下的相对运动速度对接触线计算所产生的影响。

1 坐标系建立

为了更好地表达阴阳转子之间的相对运动，这里先设置了螺旋转子齿面的坐标系（见图1）。坐标系分为两个，一个是动坐标系，是随着转子转动的；另一个是静坐标系，是不随转子的转动而转动的。图中的O1x1y1是固结在阳转子上的动坐标系，O2x2y2是固结在阴转子上的动坐标系。O1X1Y1表示固结在机座上的阳转子静坐标系，O2X2Y2表示固结在机座上的阴转子静坐标系。端面型线对称中心分别是阳转子坐标原点O1与阴转子的坐标原点O2，ω1和ω2分别为阳转子和阴转子的角速度，φ1和φ2分别为阳转子与阴转子的转角。

图1 螺旋转子齿面坐标系

2 啮合条件

双螺旋转子在相对运动的时候，阴阳转子的型线要满足啮合的条件。两转子啮合时，一个转子的齿面包络出另一个转子的齿面，在两个互为包络的齿面的接触点处，有公切面或公法线。由于接触线是转子径向上一条连续的空间曲线，所以啮合线也是一条连续并且封闭的平面曲线[3]。阳转子和阴转子在啮合之时不能彼此冲击或彼此脱开，它们的齿面只能互相滑移。此时，阴阳转子的齿面之间的法向相对速度即为零。因此，两转子接触点的相对速度矢量v在接触点公法线n上的投影等于零，即v⊥n。两矢量垂直的数学表达式为：

上述的投影式即为阴阳转子齿面啮合的条件，这种关系可以在不同的坐标系中表达，因为阴阳两个螺旋转子的轴是平行的，因此在Z轴方向上是没有相对运动的，所以螺杆压缩机中阴转子和阳转子的坐标系可以分别表达为：

上述两个式子中的vx2、vy2和vx1、vy1分别表示相对速度在O2x2y2z2和O1x1y1z1动坐标系中的投影。nx2、ny2和nx1、ny1分别表示阴阳转子螺旋齿面的法矢量在O2x2y2z2和O1x1y1z1动坐标系中的投影。

3 相对运动速度

由图1可知，只有先在静坐标系O2x2y2中求出阴转子的表达式，才能求出相对速度在阴转子动坐标系O2x2y2z2中的投影，在这种情况下，使两个转子的角速度都同为-ω1，那么这两个转子的相互运动关系不变，但此时阳转子是静止的，而阴转子做复合运动。

令-ω1=k,则-ω1=iω1=ik

由图1的螺旋转子齿面坐标关系可以推导出在阴转子动坐标系中相对速度的表达式为：

同理可以推导出在阳转子动坐标系中相对速度的表达式为：

4 螺旋曲面方程

如果螺杆压缩机转子的端面型线中某一段C的参数方程为x0=x0(t);y0(t)，那么在该曲线的初始位置所在的平面建立Oxy平面，并将OZ轴作为转子的旋转轴，建立直角坐标系Oxyz，如图2所示，则由组成齿曲线C所形成的螺旋面参数方程为：

图2 螺旋转子曲面

根据以上参数方程，可以将阴转子的齿面方程定义为：

同理，可以将阳转子的齿面方程定义为：

5 螺旋齿面法线

由上述的推导可知，法线矢量的分量可由螺旋齿面方程而得，只要将式7的各项分量求偏导数，就可以得到阴阳转子螺旋面法线的分量分别为：

6 接触线方程

结合上述推导出的啮合条件式子和转子的螺旋齿面方程式，分别将式（5）、式（10）带入式（3），得到阴转子的啮合条件式：

同理，分别将式（6）、式（11）带入式（4），得到阳转子的啮合条件式：

此时，将啮合条件式（12）与螺旋齿面表达式（8）联立，可以得到阴转子接触线方程：

同理，将啮合条件式（13）与螺旋齿面表达式（9）联立，可以得到阳转子接触线方程：

7 接触线计算

在对上述的接触线方程求解时，首先要对参数变量t在其变化范围内取不同的值，然后将啮合条件式中的螺旋转子在其转角为零度的时候，求解出与上述变量参数t不同取值下相对应的不同的τ，接着再分别求出接触线上与这些t和τ对应的空间上一系列点的坐标值。只要将这些空间点的距离进行累加，就可以得到接触线的长度。我们可以在求解接触线方程时，将接触线上空间的点设为N个，那么在一个齿间轴节距内的接触线长度可以表达为：

利用上述方法，只要足够多的计算点的数量，就可以达到很高的精度。8结语

在实际的设备运动过程中，阴阳螺旋转子齿面之间始终要保持一定的间隙，这样才能保证双螺旋转子之间的相对运动。这种情况下就不可避免地存在着间隙带，而该间隙带基本上是由接触线转变过来的。为了最大限度地减少通过间隙区的气体泄漏，应尽量缩短阴阳螺旋转子之间的接触线的长度。因此，转子型线设计原则之一就是转子型线应形成长度较短的连续接触线[4]。