移动车辆荷载作用下中低速磁浮大跨度连续梁桥动力响应分析

朱志辉，胡明勋，冯典瑾，郭向荣，刘澍

移动车辆荷载作用下中低速磁浮大跨度连续梁桥动力响应分析

朱志辉1, 2，胡明勋1，冯典瑾3，郭向荣1, 2，刘澍1, 2

(1. 中南大学 土木工程学院，湖南 长沙 410075；2. 中南大学 高速铁路建造技术国家工程实验室，湖南 长沙 410075；3. 湖南磁浮交通发展股份有限公司，湖南 长沙 410075)

为研究中低速磁浮大跨度连续梁桥在移动列车荷载作用下的动力响应，采用移动荷载模拟磁悬浮车辆作用，采用振型分解精细积分法建立桥梁动力方程并求解；通过与现场试验结果对比，验证本文模型的准确性和方法的正确性，对比分析不同行车速度、不同桥梁阻尼比等工况下的桥梁动力响应。研究结果表明：桥梁动力系数随列车速度增加而增大，但整体增加幅度不大；在列车以设计运行速度100 km/h行驶时，桥梁阻尼比的变化对桥梁响应影响较小；不同工况下桥梁动力系数均低于我国《中低速磁浮交通设计规范》中的限值。

中低速磁浮；大跨连续梁桥；动力响应；振型分解精细积分法；现场试验

中低速磁浮交通作为一种新兴的交通方式，因爬坡能力大、转弯半径小、噪声低、污染小、环境兼容性好等优点已越来越受到人们的关注。随着我国长沙中低速磁浮交通运营线的顺利开通，国内诸多城市亦开始规划中低速磁浮交通的建设，中低速磁浮交通具有良好的发展前景[1]。为了在城市轨道交通中提高其竞争力，磁浮线路大量采用较为轻盈的高架桥梁。磁浮车辆通过桥梁区段时，桥梁对车辆的悬浮稳定性及动力响应有显著的影响，国内外学者针对磁悬浮桥梁振动响应问题进行了大量的研究。滕延锋等[2]将磁浮车辆简化为均布二系悬挂模型，建立了磁浮车辆—轨道梁耦合振动分析模型，并对磁浮列车驶过三跨连续梁时轨道梁的振动响应进行了数值仿真分析；时瑾等[3]建立磁浮列车桥梁耦合动力学模型，提出求解机电强耦合微分方程的积分方法，并通过现场测试结果验证所提出的方法的准确性。耿杰等[4-5]建立了中低速磁悬浮车桥耦合动力学模型，通过现场试验验证自编程序的正确性，并结合现场试验对中低速磁悬浮简支梁桥的动力系数进行了研究；杨平等[6]建立车−轨道竖向耦合振动分析模型，并利用该模型分析车速、车重及桥梁阻尼比等对20 m简支梁动力系数的影响，同时结合现场试验测试结果与规范中动力系数公式计算结果进行对比。邓建良等[7]将磁悬浮列车荷载简化为移动均布荷载，使用模态叠加法求解得到了简支轨道梁的响应解析解，并与响应数值解和列车-桥梁耦合振动解做了对比，指出移动均布荷载可以反映轨道梁振动的特征和振动规律；SONG等[8]将磁悬浮列车简化为均布移动荷载，并通过对精细有限元模型的数值计算验证了简化方法的正确性和可行性。由于磁悬浮车辆相对于桥梁质量较小，车桥耦合作用不显著，因此可以采用移动荷载模拟磁悬浮列车对桥梁的动力作用。为提高移动荷载过桥时动力分析的精度和效率，张亚辉等[9]在荷载作用位置随着时间发生变化的情形下应用PIM方法，并与常规计算方法进行比较，指出该方法计算精度及效率较通常的数值积分方法均得到了显著提高；桂水荣等[10]根据模态综合叠加技术的优势提出了基于PIM的车桥耦合振动模型新算法，并以移动常量力作用于简支梁为例，对比新型算法与Newmark- β法等计算结果，指出基于PIM的新型算法求解车桥耦合动力问题时不受积分步长限制，具有快速收敛的优势。本文在以往研究的基础上，采用移动荷载模拟磁浮车辆荷载作用，建立了精细三跨连续梁桥有限元模型，并基于得到的MDPIM(振型分解精细积分法)建立动力方程，这样既克服了直接应用精细积分法求解大型结构矩阵尺度太大的困难，又保持了精细积分法高精度的优点[11]。以长沙中低速磁浮浏阳河大桥为例(85 m+110 m+85 m)，自编MATLAB计算程序分析了磁浮列车开行速度、桥梁阻尼比对磁浮桥梁竖向振动响应的影响规律。

1 车辆、桥梁动力学模型

1.1 车辆荷载模型

由于磁悬浮车辆相对于桥梁质量较小，车桥耦合作用不显著，所以磁悬浮列车采用一组移动荷载模拟。3车编组的磁浮列车每节车重量相同，将每个转向架与桥梁系统之间电磁力的作用简化为集中力，对于一节车而言，每2个集中力的间距为0，2节车的首尾集中荷载间距为1，最终得到磁浮列车的荷载简化模型如图1所示。

图1 磁浮列车荷载简化模型

1.2 桥梁动力模型

根据桥梁不同构件的特性，可以采用不同单元建立桥梁的有限元模型。建立桥梁模型后，Ansys可以导出结构的质量、阻尼和刚度矩阵。桥梁系统动力方程可写为：

根据正则坐标变换可以得到：

则等式(1)可以改写为：

在求解桥梁动力方程时，集中荷载作用到桥梁有限元模型两相邻节点和+1节点之间的单元上时，可以通过Hermite三次插值将集中荷载分配到单元两端节点上。

2 精细积分法求解流程

精细时程分析法(Precise Integration Method, PIM)是利用矩阵指数函数可以在计算机字长范围内精确计算的特点得到很精密的解答[15]。与传统的逐步积分法即中心差分法、Newmark-法和Wilson-法相比，精细积分法可以降低对步长的要求，在积分步长较大时得到较为精确的结果，从而能大大提高数值积分的计算效率。其中，积分步长影响计算的时间，积分间隔影响计算的精度，所以在计算时一般采用较大的积分步长和较小的积分间隔。该方法采用了2类的算法，相当于在每一时间步长内进一步划分成2个精细步长，大大提高了计算结果的精度；此外该方法降低了对于积分步长的要求，在积分步长较大时可以得到较为精确的结果，从而提高了数值积分的计算效率[15]{翟婉明, 2001 #150}。

从文献[16]中可以得到有关PIM计算方法的求解过程，该方法计算流程如图2所示。

图2 精细积分法计算流程图

对于下式所示的结构动力学方程：

精细积分法较宜于处理一阶方程，故采用Hamilton体系方法进行方程变换[15]，将上式化为一阶方程：

1) 齐次方程的求解

齐次方程的通解可以形式地写成

令时间步长∆=，则

2) 指数矩阵的精细计算

利用加法原理，指数矩阵的精细计算方法可表示为：

为计算矩阵，式(11)可表示为：

3) 非齐次项的处理

其中：

从而有：

3 浏阳河大桥现场试验

3.1 桥梁概况

长沙中低速磁悬浮工程从长沙南站到长沙黄花国际机场线路全长约18.643 km，设计行车速度100 km/h。全线初期设车站3座，高架区间总长度16.795 km，占86.3%。其中浏阳河段大跨连续梁桥是一座三跨变截面预应力混凝土双线(直线)连续梁桥，主梁长度为279.7 m。该连续梁桥采用梁上承轨方案，承轨梁高为0.9 m，顶板和腹板厚度为22 cm；下层箱梁横截面为单箱单室直腹板，箱梁顶面宽度8.1 m，底面宽度5.7 m，顶板厚度为40 cm，腹板厚度分别为40 cm和80 cm。箱梁在中支点截面中心线处梁高为8.00 m，跨中截面中心线处梁高为5.00 m。边支座中心线至梁端0.70 m，边支座横桥向中心距4.50 m，中支座横桥向中心距5.00 m。三跨连续梁桥示意图及断面图如图3所示，其中1-1为中支点断面，2-2为中跨跨中断面。

3.2 试验方案

3.2.1 地基微波雷达概况

近年来地基微波雷达开始应用于桥梁的挠度测量等领域之中，相对于其他传统测量方式而言具有非接触式远程测量、精度高、环境适应性强以及支持多点同时测量等优点[17]。

单位：cm

中南大学高速铁路国家工程实验室和国防科技大学基于高分辨雷达遥感成像与雷达干涉原理联合开发了地基微波雷达，该设备采用电磁波远程对桥梁、高层建筑、铁塔等结构的微小变形进行高速和实时的监测，广泛应用于静挠度、动挠度及斜拉桥索力等测量领域，是一种具有较高精确度的新型干涉雷达测试系统。不同于传统的雷达干涉仪采用步进频率(SF-CW)波形，该地基微波雷达采用线性调频连续波(LFMCW)[18]。LFMCW雷达具有低截获概率(LPI)特性，测试精度受目标物体运动速度影响较小，波束抗干扰能力强等特点；同时易于扩频和实现高分辨率，还具有无距离盲区和大时间带宽的特性，能够进行多目标精准识别[19]。

相位干涉测量技术是一项用途十分广泛的测量技术。应用该技术，雷达主机可通过对相同检测区域的重复观测，根据回波信号相位差∆反演生成目标形变图。设为雷达发射波波长，则目标位移量为：

式中：为电磁波波速；为地基微波雷达的工作频率。在动态变形测试时，位移测试精度优于0.1 mm，还可通过进一步调节工作频段，获得更短的发射波波长，以提高测试精度。

图4 位移投影技术竖直投影方向

3.2.2 试验测点布置

浏阳河大桥现场试验使用地基微波雷达系统测量列车过桥时，桥梁主要测点的竖向位移响应。测点布置在连续梁每一跨的跨中位置，如图5所示。为提高测点处雷达散射质量进而提高测量精度，在桥梁测点处布置了雷达标靶。

单位：m

4 桥梁有限元模型及验证

4.1 桥梁有限元模型

图6为浏阳河大桥有限元模型。其中主梁、承轨梁及桥墩均采用BEAM188单元，主桥和承轨梁划分单元长度为0.4 m，弹性模量均为5×1010N/m。承轨梁与主梁之间使用刚臂连接；支座采用COMBIN14弹簧单元模拟。该桥主梁、承轨梁及桥墩密度均为2 650 kg/m3，桥上二期恒载为55 kN/m，在进行动力分析时把二恒等效为桥梁均布质量施加到主桥梁单元之中。

单位：m

4.2 模态验证

为了验证建立的桥梁有限元模型的正确性，以及自编MATLAB计算程序的可靠性，对比浏阳河大桥自振特性的理论值和实测值。表1给出了有限元模型前4阶振型和频率(试验实测值只提供了前两阶频率)，图7所示为有限元模型前4阶振型图。由表1可知，浏阳河大桥有限元模型经过模态求解得到的前2阶频率与试验实测结果接近。

表1 桥梁频率理论值和试验值

4.3 静载作用

静力试验按照2列车双线布置的方式，每列磁悬浮列车采用3车编组，每节车满载重量为33 t。列车荷载简化为图1所示的荷载形式，其中0为2.8 m，1为4.4 m，集中荷载为64.68 kN，静载试验时，列车荷载分别沿各跨的跨中截面对称分布，如图8所示。

(a) 1阶振型；(b) 2阶振型；(c) 3阶振型；(d) 4阶振型

(a) 纵桥向静力加载图；(b) 横桥向静力加载图

工况1，工况2和工况3分别为列车荷载沿第1跨，第2跨和第3跨的跨中截面对称分布，各跨的跨中截面位于图5中测点a，b和c位置处，通过现场实测得到各测点位置的挠度值。对比3种工况下各个测点的挠度值，结果如表2所示。(“—”表示现场试验实测结果中未提供相关结果，正值表示桥梁位移向下，负值表示桥梁位移向上)。

由表2可知，静力作用加载时3种工况下测点的现场试验实测挠度值与使用自编程序计算得到的测点挠度值较为接近，其误差均小于5%。

表2 跨中挠度试验值与理论值

图9 试验实测值与理论值对比图

4.4 动载作用

动力加载试验为一列磁浮列车以60 km/h的速度通过三跨连续梁桥，采用图1所示的移动荷载模拟列车轴重，每节车载重为33 t。桥梁阻尼比取值为0.02，计算积分步长为0.024 s，计算时间为20 s。针对中跨跨中测点b，采用振型分解精细积分法，根据高速铁路欧洲规范中桥梁加速度限值对应的频率[20]，取前100阶振型进行求解得到理论结果，将试验实测结果与理论结果进行对比，如图9所示。在动力作用加载工况下通过现场试验实测得到的中间跨跨中测点的位移时程曲线与使用自编程序计算得到的位移时程曲线吻合很好。

综上所述，浏阳河大桥有限元模型经过模态验证、静载试验、动载试验得到的结果均与试验实测值较为吻合，表明了浏阳河大桥有限元模型的准确性以及自编MATLAB计算程序的正确性。

5 大跨度连续梁桥动力分析

当列车通过桥梁时，在动力荷载的作用下桥梁结构的竖向动力响应大于列车荷载静止在桥上所引起的静力响应，在假定车辆满载条件下(每节车辆满载重量为33 t)，本节分别研究车速及桥梁阻尼比对桥梁竖向动力响应的影响规律。

5.1 车速的影响

磁浮车辆速度变化范围为20~120 km/h，变化间隔为20 km/h。动力分析时间积分步长为0.024 s，阻尼比为0.02。图10和图11所示分别为不同车速下桥梁中间跨的跨中测点的位移和加速度时程 曲线。

图10 不同速度下中跨跨中位移时程曲线

从图10~11中可以看出，不同速度工况下，三跨连续梁桥的位移时程曲线吻合较好，且跨中挠度峰值和加速度时程变化均不显著，表明在运营速度范围内不会引起桥梁响应的剧烈变化。

图11 不同速度下中跨跨中加速度时程曲线

在设定车速变化范围内，三跨连续梁中跨跨中的动力系数随速度变化的点线图如图12所示。中跨跨中动力系数大致随速度的提高而增加，当车速为120 km/h时，最大值仅为1.010 3。

图12 不同速度工况下中跨跨中动力系数

5.2 阻尼比的影响

为研究桥梁阻尼对冲击效应的影响，在设计时速100 km/h条件下，对比阻尼比介于0.02~0.05时，阻尼比对桥梁中跨跨中的动力系数的影响规律。阻尼比分别为0.02，0.03，0.04和0.05时，浏阳河大桥中跨跨中的动力系数分别为1.002 5，1.004 2，1.005 2和1.005 9，如图13所示。从图中可以看出，动力系数变化非常小，阻尼比的变化对桥梁动力系数影响较小。

图13 不同阻尼比工况下中跨跨中动力系数

6 结论

1) 当车辆以20~120 km/h的速度通过三跨连续梁桥时，桥梁跨中位移响应没有发生显著变化，桥梁动力系数随列车运行速度的提高而有所增加，但增幅不大，表明磁浮列车在正常运行速度范围内，速度变化不会引起桥梁响应的剧烈变化。

2) 车辆以设计运营速度100 km/h驶过三跨连续梁桥时，桥梁阻尼比的变化对连续梁桥动力响应的影响较小。

3) 当车辆以20~120 km/h的速度过桥时，以及桥梁阻尼比在0.02~0.05之间变化时，动力系数均小于我国《中低速磁浮交通设计规范》中规定的动力系数最小限值1.15。

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Dynamic response analysis of low and medium speed maglev long-span continuous beam bridge traversed by moving train load

ZHU Zhihui1, 2, HU Mingxun1, FENG Dianjin3, GUO Xiangrong1, 2, LIU Shu1, 2

(1. School of Civil Engineering, Central South University, Changsha 410075, China; 2. National Engineering Laboratory for High Speed Railway Construction, Central South University, Changsha 410075, China; 3. Hunan Maglev Transportation Development Co., Ltd, Changsha 410075, China)

In order to study the dynamic responses of the low and medium speed maglev long-span continuous beam bridge under the action of the moving train load, the action of maglev train was simulated by the moving load. The dynamic equation of bridge was established and was solved by MDPIM (Mode Decomposition Precision Time Integration Method), through comparison with field test, the accuracy of the finite element model and correctness of method were verified. At last, the dynamic response of bridge under different driving speeds and different damping ratios of the bridge were compared and analyzed. The results show that the dynamic coefficient increases as the train speed increase on the whole, but the increase is not modest. When the train is traveling at the design speed of 100 km/h, the change of the damping ratio of the bridge has little impact on the bridge response. And under different conditions the dynamic coefficient values are lower than the limit value in Code for Design of Low and Medium Speed Maglev Transit.

low and medium speed maglev; long-span continuous beam bridge; dynamic response; mode decomposition precision time integration method; field test

U237；U44

A

1672 − 7029(2019)07− 1695 − 09

10.19713/j.cnki.43−1423/u.2019.07.013

2018−10−24

国家自然科学基金资助项目(51678576)；湖南省科技重大专项项目(2015GK1001)

朱志辉(1979−)，男，河南潢川人，教授，博士，从事车−线−桥耦合动力学研究；E−mail：zzhh0703@163.com

(编辑 涂鹏)