有限群的s-半置换子群与p-幂零性

庞琳娜， 唐翠， 韩彩虹

广西师范大学数学与统计学院， 广西 桂林 541004

称有限群G的子群H和K是可交换的，如果HK=KH.称有限群G的子群H为π-拟正规子群，如果H与G的每个Sylow-子群可交换.自从Kegel在文献[1]中引入π-拟正规子群的概念后，人们对子群的π-拟正规性与有限群结构之间的关系进行了广泛的研究.例如：Srinivasan在文献[2]中证明了：如果有限群G的所有Sylow-子群的极大子群在G中π-拟正规，那么G是超可解群.Ramadan则在文献[3]中证明了：如果有限可解群G的Fitting子群F(G)的所有Sylow-子群的极大子群在G中π-拟正规，那么G是超可解群.近来，Asaad、 Ramadan和Shaalan在文献[4]中对这个定理进行了推广：如果有限可解群G存在正规子群H使得G/H是超可解群，且F(H)的所有Sylow-子群的极大子群在G中π-拟正规，那么G是超可解群.

后来人们把π-拟正规子群推广为s-半置换子群，并研究了子群的s-的半置换性对有限群结构的影响.称有限群G的子群H为s-半置换子群，如果H与G的每个Sylowp-子群可交换，只要 (p,|H|)=1.陈重穆在文献[5]中给出了结论：如果有限群G的所有 Sylow- 子群的极大子群在G中s-半置换，那么G是超可解群.张勤海、王丽芳[6]对上述结果进行了推广.王丽芳、王燕鸣[7]证明了，设G是有限群，p是|G|的最小素因子，P∈Sylp(G).如果P的每个极大子群在G中s-半置换，那么G是p-幂零群.

上述这些结果都是假定G的某些子群在G中s-半置换，从而讨论G的结构.本文把这个条件限制到局部子群中，即假定G的Sylow-子群P的极大子群在NG(P)中s-半置换，来讨论G的结构.

1 引理

引理1[7]设H是有限群G的s-半置换子群.则(1)如果K是G的子群，且H≤K,那么H是K的s-半置换子群;(2)如果N是G的正规π-子群，且H是π′-子群，其中π是一些素数的集合，那么HN/N是G/N的s-半置换子群.

引理2[7]设G是有限群，p是|G|的最小素因子，P∈Sylp(G).如果P的每个极大子群在G中s-半置换，那么G是p-幂零群.

设G是有限群，lp(G)表示G的p-长[8].

引理3[8]设G是有限p-可解群，P∈Sylp(G),H是P在G中的p-补子群.如果P′H=HP′,那么lp(G)≤1.

设G是有限群，F*(G)表示G的广义Fitting子群[8].

引理4[9]设G是有限群，M≤G.则(1)如果M≤G,则F*(M)≤F*(G);(2)如果G≠1,那么F*(G)≠1;(3)F*(F*(G))=F*(G);(4)如果F*(G)可解，那么F(G)=F*(G).

2 主要结果

定理1 设G是有限p-可解群，P∈Sylp(G).如果P中的每个极大子群在NG(P)中s-半置换，且P′在G中s-半置换，那么G是p-超可解群.

证明 令N=Op′(G).我们证明G/N满足定理假设.显然，PN/N是G/N的Sylowp-子群.令TN/N是PN/N的极大子群，则T=N(T∩P).由于

|PN/N∶T/N|=|PN∶T/N|=|PT∶N(T∩P|=|P∶T∩P|=p

故T∩P是P的极大子群.由定理假设知，T∩P在NG(P)中s-半置换.于是由引理1得，(T∩P)N/N在NG(P)N/N=N(G/N)(PN/N)中s-半置换.再由引理1有(PN/N)′=P′N/N在G/N中s-半置换.这说明G/N满足定理假设.如果N≠1, 则由归纳，有G/N是p-超可解群.从而，G也是p-超可解群.

由于G是p-可解群，故Op(G)≠1.设H是G的任意p-子群.类似第一段可证明G/H满足定理假设.于是，若H≠1,则由归纳，G/H是p-超可解群.这说明Φ(G)=1,且G存在唯一极小正规子群.不妨仍记这个唯一极小正规子群为H.由文献[10]知，存在P的极大子群P1使得H不含于P1.令H1=H∩P1，则|H∶H1|=|HP1∶P1|=|P∶P1|=p.令Q是G的任意Sylowq-子群，q≠p. 由假设，有P1Q是子群.因此，H1=H∩P1≤P1Q.于是，Q正规化H1.另一方面，P=P1N也正规化H1.这说明H1≤G. 由H的唯一性，得H=1,即H是p阶循环群.因此，G是p-超可解群.

注记1 如果把定理1中的条件“P′在G中s-半置换”去掉，结论不一定成立.例如，令G=S4,4个文字上的对称群，P2是G的Sylow 2-子群，则G是2-可解群，且P2的每个极大子群在NG(P2)=P2中s-半置换，但G不是2-超可解群.

条件“G是有限p-可解群”去掉之后，结论也不一定成立.例如，G=PSL(2,7),P2是的G的Sylow 7-子群，则P2的极大子群和导子群都是1，故在G中s-半置换，但G不是7-超可解群.

定理2 设G是有限群，p是|G|的最小素因子，P∈Sy1p(G).如果P中的每个极大子群在NG(P)中s-半置换，且P′在G中s-半置换，那么G是p-幂零群.

证明 由定理1知，只需证G是p-可解群.由引理2知，NG(P)是p-幂零群.于是，NG(P)=P×T, 其中T是NG(P)的p-补.假定P是交换子群，那么P含于NG(P)的中心.由Burnside定理[10]知，G是p-幂零群.因此，可假设P非交换，即P′≠1.而由定理假设，P′在G中s-半置换.于是由文献[11]知，P′在G中的正规闭包(P′)G是可解群，从而Op((P′)G)≠1或Op′((P′)G)≠1.若Op((P′)G)≠1,易检验G/Op((P′)G)满足定理假设，从而由归纳得G/Op((P′)G)是p-可解群，从而G是p-可解群.若Op′((P′)G)≠1,也有G是p-可解群.

推论1 设G是有限群，如果G的任意Sylow子群P的极大子群在NG(P)中s-半置换，且P′在G中s-半置换，那么G是Sylow塔群.

证明 设M是G的真Hall子群，P是M的任意Sylow子群.由假设及引理1得，P的极大子群在NM(P)中s-半置换，且P′在M中s-半置换.由归纳得，M是Sylow塔群.现在，设P是|G|的最小素因子，P∈Sy1p(G).由定理2得G是p-幂零群.令K是G的正规p-补.于是，K是Sylow塔群.从而，G是Sylow塔群.

定理3 设G是有限群，p是|G|的最小素因子，G有正规子群H使G/H是p-幂零群，P∈Sy1p(H).如果P中的每个极大子群在NG(P)中s-半置换，且P′在G中s-半置换，那么G是p-幂零群.

证明 根据引理1以及定理假设，P中的每个极大子群在NH(P)中s-半置换，且P′在H中s-半置换.由定理2，有H是p-幂零群.设K是H的正规p-补，则K是G的正规子群.考虑商群G/K.由引理1知，G/K和正规子群H/K满足定理的假设，所以若K≠1,则由归纳知G/K是p-幂零群，从而G是p-幂零群.因此，我们可以假设K=1.这时有H=P是G的正规p-子群.令R/P是G/P的正规p-补，则R满足定理假设.由定理2，有R是p-幂零群.这时，R的正规p-补就是G的正规p-补.因此，也有G是p-幂零群.

定理4 设G是有限群，H是G的正规子群，且G/H是超可解群.如果H的任意Sylow子群P的极大子群在NG(P)中s-半置换，且P′在G中s-半置换，那么G是超可解群.

证明 由引理1知，H的任意Sylow子群每个极大子群在NH(P)中s-半置换，且P′在H中s-半置换.由推论1知，H是Sylow塔群.特别地，H是可解群.设N是含于H的G的极小正规子群H/N.则由引理1知G/N和正规子群H/N理的假设.故由归纳，G/N是超可解群.这说明N是含于H的G的唯一极小正规子群，且N不含于Φ(G).设q是|H|的最大素因子，Q是H的Sylowq-子群，则Q≤G,且N≤Q.因Φ(Q)≤Φ(G).故可设Q存在极大子群Q1使得N≤/Q1.令N1=N∩Q1.则|N∶N1|=|NQ1∶Q1|=|Q∶Q1|=q.令R是G的任意Sylowr-子群，r≠q.由假设，有Q1R是子群.因此，Q1=N∩Q1≤Q1R.于是，R正规化N1.另一方面，Q=Q1N也正规化N1.这说明N1≤G.由N的唯一性，得N1=1,即N是q阶循环群.因此，G是超可解群.

定理5 设G是有限群，H是G的正规子群，且G/H是超可解群.如果F*(H)的任意Sylow子群P的极大子群在NG(P)中s-半置换，且P′在G中s-半置换，那么G是超可解群.

证明 令F=F*(H).由引理1知，F的任意Sylow子群的极大子群在NF(P)中s-半置换，且P′在F中s-半置换.由推论1知，F是Sylow塔群.特别地，F是可解群.由引理4有F=F(H).因此，F的任意Sylow子群P的极大子群在NG(P)=G中s-半置换.由文献[6]，G是超可解群.